X-Hoo
90. Exemple II. — La fonction e^'z"*, dans laquelle la lettre n désigne un nombre positif quelconque, acquiert un nombre fini ou infini de valeurs différentes, suivant que le nombre n est commensurable ou incommensurable (n® 14); mais elle est holomorphe dans le secteur AOB i^g' 5o), défini par l'angle a et le rayon r. Afin de déterminer complètement la fonction dans ce secteur, nous prendrons celle des valeurs de z" qui devient réelle et positive sur OA; il suffit pour cela de poser z = p^^y z"r=p'*e^^^ 6 variant de o à a, et /&" étant une quantité réelle et positive.
Fig. 5o.
Suivant OA on sl z = x, x variant de o à r; suivant Tare de cercle AB on a 2 = re^\ dz -= irê^ dQ, 6 variant de o à a; et enfin suivant 80 on a z = pc"', dz == e*' dp, p variant de rà o. L'intégrale relative au contour du secteur étant nulle, on obtient l'équation
(e~'X" ' rfa: -f- I I /-«g •■to»0+i(«0-iMnO;^Q — I p».-ig^?io»*«-/(i,«-j«in«j^p__Q^ , », « O •/ o
La seconde intégrale tend vers zéro, quand r augmente indéfiniment,
EXEMPLES DINTÉGRALES DÉFINIES. 143
si l'angle a est moindre que -\ la première a pour limite la transcendante désignée par r(n). L'équation se réduit donc à
/•oo
et Ton a
p"~'€-î''*»»»cos(/ia — psina)rfp — r(/i), o
J/»oo p"~'e-f^<»*"sin(na — psina) dp ~ o, o
ou
f p»-'e-p*°»*cos(psina)rfp-i-sin/ia / p"- 'e-?«»*sin(psina)rfp=rr(/i),
J/^00 /»oo
I p*-'e-f'°'»«cos(psina)rfp— cos/ia / p''-'e-p*»»*sin(psina)rfp=o. o Jo
On en déduit
J/»QO I p''-'e-?*^<»**cos(p sina)rfpi--r(/i)cos/ia,
Jl p«-'^?f'>»« sin(psina)rfp = r(/i)sinna. o
Si Ton pose
COSa- rry Sina=i ir> R r- V^fl' -i- 6', prriRtt,
les deux formules précédentes deviennent
(a) I a"~'e-""cost>aaa— — ^-- cos l/iarclang- j>
( 3 ) I u" -' ^-*''' sin bu du - -^^p- sin ( /i arc lang - J •
91. Exemple III. — La fonction j dans laquelle la lettre n dé-
signe un nombre positif moindre que Tunité, admet comme pôle le point I [fig. 5i) qui correspond à z -.-- -- i, et comme point critique
14i LIVRE m. - CHAPITRE 0.
Torigine. Du point 0 comme centre, avec un rayon trës-grand R, décrivons un demi-cercle ADA| limité a Taxe des x et des points 0 eti comme centres, avec des rayons trës-petits s et ç,\ des demi-cercles BEBo CFG| limités aussi à Taxe des x. La fonction proposée étant holomorphe dans l'aire enveloppée par le contour fermé ADA, C| FGB| EBA» l'intégrale
dz
relative a ce contour est nulle. Nous prendrons, comme précédemment, celle des valeurs de z" qui devient réelle et j)ositive sur BA.
La partie de l'intégrale relative à la demi-circonférence ADA| tend vers zéro, quand R augmente indéfiniment. La partie relative à la demicirconférence B, EB tend aussi vers zéro, quand £ tend vers aéro. Pour évaluer l'intégrale relative à la demi-circonférence G^FC, nous poserons z = — I -+- e'e^S ce qui donne
quand ê' tend vers zéro, z" devient e"'^', et l'intégrale se réduit à ine^^^, La droite BA donne une intégrale ayant une limite déterminée
dx.
Suivant les droites A, G,, CB, on a e = 7r, 5" = r"^"'^ z=^r, ce
qui donne les deux intégrales
dr -h <?"'' / ,dr
La somme des intégrales relatives aux diverses portions du contour ferjpié étant nulle, et les quatre premières parties tendant vers des limites déterminées quand s et s' tendent vers zéro et que R augmente indéfiniment, il est clair que la dernière partie , et par conséquent la somme des deux intégrales placées entre parenthèses, tend aussi vers une limite déterminée. Cette limite est ce que Gauchy appelle ta valeur principale de Vintégrale
'—-dr; \ — r
nous la représenterons par k. Nous avons ainsi Téquation
- dx H- TTic»''*— A*e"'' = o,
d'où
dx = {k — 7:/)(cos/i7r -h i sin/i::)
= (/r cos/iTT -t- îT sin/iTu) -f- i(ks\vm: — tt cosnTu),
On trouve k = nco{nTc, en remarquant que le premier membre est réel, et Ton obtient la valeur de l'intégrale définie
— (ix —.
-f X sm/iTT
