V.TI l J /^\ Z — l ZTTI
l'intégrale étant prise sur la circonférence r, dans le sens direct. Mais on a identiquement
d'où
On en déduit
^^ ^r.i Jç^,^ z ^r.ijf^^^ z' '^r.i Ji^,) z'
Évaluons le dernier terme. Posons pour cela
z — re"',
d'où
dz — ire"' d9 — izdô;
ce terme devient
i do.
1«2 LIVRE m. - CHAPITRE HI.
95. Corollaire. ~ LorsqiC une fonction f{z) est holomorphe dans un cercle décrit du point z^ comme centre avec un rayon R, elle est dévehppahle en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de z — Zq^ et convergente dans ce cercle.
Posons
la fonction /(zo + ^') ®st développable suivant les puissances entières et croissantes de z\ et Ton a
d'où
Les coeflicicnts sont donnés par la formute
(7) //„-- '- f '^ f(z.-^re'^)€r"^^dO,
et la série (6) peut être représentée par
dû.
D'après la formule (la) du n^ 87, on a
On en déduit
et la série (8) se met sous la forme
/(^^^ir^f^f^-^')"'
donnée par Taylor pour le cas où la variable est réelle
1N4 LIVRE m. — CHAPITRE III.
de i^, étant fonction holomorphe de z'\ est développable en une série convergente suivant les puissances entières et croissantes de 2"; on a donc
f == c, -f- Vt * -.- ^1 z^ -i- . . . ,
(12) M = |/, H t'^z'^Hf, 2'"-!- Cj^'"-!-. . ..
Cette dernière série représente les n racines formant le système circulaire; elle est convergente jusqu'au pôle ou point critique le plus voisin, où l'une des racines du système devient infinie ou se change en une autre.
En général le groupe des n racines voisines de u^ se décompose en plusieurs sous-groupes, dont chacun forme un ou plusieurs systèmes circulaires. Nous avons vu (n^ 36) que, dans tous les cas, les/i racines
d'un système circulaire sont représentées par la formule u! = vz'^y
f^ étant fonction holomorphe de z" = z'^ ne s'annulant pas avec z"^ et la fraction - n'étant pas nécessairement irréductible. Cette fonction 9
pouvant être développée en une série convergente suivant les puissances entières, positives et croissantes de z'\ les/i racines du système circulaire sont représentées par la même série
;"'(i'.-ri'.55'^-i-i',V'^-r . .).
Le même mode de développement s'applique aux racines infinies. Quand, pour z =Zo9 il y a n racines infinies, ces n racines se décomposent encore en sous-groupes, dont chacun forme un ou plusieurs systèmes circulaires. Les p racines d'un système circulaire sont re-
présentées par la formule u = vz' ^, v étant fonction holomorphe de
z" = z"* (n® 37). Cette fonction v pouvant être développée suivant les puissances entières, positives et croissantes dez'', les/? racines du système circulaire sont représentées par la série
U = Z' ^\V^'\'VxZ'^-¥V^z'^-\...).
150 UYRE m. — CHAPITRE III.
le plus voisin où cette racine se permule avec une autre. Mais il peut arriver que le cercle de convergence contienne un ou plusieurs points critiques relatifs k d'autres racines.
Comme premier exemple» considérons l'équation du second degré
iio) n —■- a-\- z - *
dont Tune des racines
, , I — >fï— ^ClZ -4- z* (^I) U= j
se réduit à a pour z = o; l'autre racine devient infinie en ce point qui est pôle par rapport à cette seconde racine. Les deux racines deviennent égales et se permutent autour des (leux points critiques
Bornons-nous au cas où la quantitéa est réelle et positive. Si le nombre a
est plus petit que i» les deux points critiques z = a di i y^i — a^ ayant un module égal à i» le rayon du cercle de convergence est égal a i et est indépendant de a. Si le nombre a est plus grand que i, les deux points critiques étant inégalement distants de l'origine» le plus voisin donne le rayon du cercle de convergence
ce rayon est d'aulant plus petit que a est plus grand. La fprmule de Lagrange donne le développement de la racine (21)
dans le cercle que nous venons de déterminer.
On en déduit un autre développement très-important. En diflercntiant la formule (21) par rapport à a, on trouve
— -- - (1 - 7.az H- zM %
158 UVIΠm. - aiAPlTRB lU.
réel, et que Téquation f(z) = o a ses trois racines réelles» TéqualioQ (a4) a ses trois racines réelles, lorsque la condition
est remplie. De z = o II z = z^, les trois racines sont réelles» deux positives, une négative; ce sont les deux racines positives Uq et u^ qui se permutent autour du point critique z^.De z ^ o k z = z^^ une seule racine i/o €St réelle; ce sont les deux racines imaginaires u^ et u^ qui se permutent autour du point critique z^. Dans Tintervalle z^z^, les trois racines sont réelles et négatives. Enfin, pour toutes les valeurs de z supérieures à z^ ou inférieures à z^, une seule racine est réelle.
On se rend bien compte de la transformation des racines en formanl des lacets qui, partant d'un point z^ voisin de 0 et situé sur Taxe Oar, enveloppent les quatre points critiques. D'après ce que nous avons dit, le lacet {z^) permute les deux racines Uo et u«, chacun des lacets (0) et {Z2) les deux racines u^ et 1/3 ; quant au lacet (z,), il permute la racine Uo avec u, ou 1/3; car, le point 0' étant un point ordinaire sur la sphère, un circuit qui enveloppe tot>s les points critiques, ramène la valeur initiale Uo. On conclut de Ik que la racine dont la valeur initiale est u = o pour z = o est holomorphe dans le cercle de rayon z^ ayant pour centre l'origine, et, par conséquent, qu'elle est développable en une série convergente dans ce cercle, qui comprend deux points critiques relatifs aux deux autres racines.
98. Théorème II. — Lorsqu'une fonction est holomorphe dans la partie du plan comprise entre deux cercles ayant pour centre V origine ^ elle est développable en une double série ordonnée suivant les puissances entières, positives et négatives, de la variable, et convergente dans cette partie du plan.
Nous supposons la fonction /(z) homolorphe dans la partie du plan comprise entre les deux circonférences décrites de l'origine comme centre avec les rayons R et R' {/ig. 55), R étant plus grand que R'. Soit / un point quelconque situé dans cette partie du plan. Du point 0, comme centre, décrivons deux cercles, l'un avec un rayon r plus petit que R, mais plus grand que 0/; l'autre avec un rayon r' plus grand que R', mais plus petit que 0^.
160 UVRE m. - CHAPITRE III.
Sur la circonférence r' le module de z étant au contraire plus petit que celui de I, nous écrirons
La formule (^5) devient
•^ ' ' 27:1 Jf^^ Z
4.i. / nz)dz-\- :/ Zf(z)dz...'^. :/ Z— /(z)c?Z^ -i-. / Lrfz.
On verra» comme précédemment» que les deux termes complémentaires tendent vers zéro quand n augmente indéfiniment. On obtient ainsi une double série ordonnée suivant les puissances positives et négatives de /. Les intégrales ont des valeurs fixes et déterminées; elles sont d'ailleurs indépendantes des rayons r et f^ pourvu que ces rayons soient compris entre R' et R. Si Ton pose
et si Ton remplace / par z^ la double série devient
f{z) -r, . . 4- U-jZ-^ H- 11,5-' -h M» -I- UiZ -i- WjZ* -i . . .;
on peut la représenter par
(«6 ) -^^"^ = ^ S ? X flre^ne-^'àe.
nz^ - «
162 LIVRE m. - CHAPITRE IIÏ.
cée sur son prolongement; et ainsi de suite; ces -portions de droite, s'ajoutant les unes aux autres, forment une droite infinie BC. Supposons maintenant que le rayon r varie de r^kr^, le point A décrira sur la per^ pendiculaire menée de l'origine à la droite BG une longueur Ao A|, dont
les extrémités correspondent aux valeurs z = — ^» z = — -
et la droite BG» se mouvant parallèlement à elle-même, ira de la position BqCo à la position B|C|. Ainsi a la partie du plan t comprise entre les deux circonférences concentriques Tq, r^ correspond la partie du plan z comprise entre les deux parallèles BoCq» B|C«.
Soit u =/( z ) une fonction de z, holomorphe dans la bande Bo Co B| C| , et admettant la période «, c'est-à-dire telle que /(z -+-«)=/(«). Si nous concevons la bande divisée en rectangles égaux au rectangle AoA'oA^Af, la fonction reprendra la même valeur aux points homologues de ces différents rectangles. A une valeur de t correspondent une infinité de valeurs de z de la forme z + /na>, m étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif, et par conséquent une seule valeur àeu\ u peut donc être regardé comme une fonction holomorphe de t dans la couronne comprise entre les circonférences r^ et r,. En vertu du théorème précédent, cette fonction est développàble en une série
(l) UT=\u„t\
ordonnée suivant les puissances entières, positives et négatives de i, et convergente dans la couronne r^^r^. En remplaçant t par sa valeur, on obtient la série •
7/iesi
convergente dans la bande BoGoB|C|.
Un coefficient quelconque de la série (i) est donnée par Tintégrale définie
(3) ""^rb ( "'-"-rf^
relative è une circonférence de cercle intermédiaire entre les circonférences limites Tq et r, ; par le changement de variablct cette intégrale définie devient
2n%zi
(4) w-= - I ue • dz,
la variable z décrivant une ligne allant d'un point ^o ^ un point Zo •+- ^» et comprise entre les deux parallèles limites, par exemple la ligne ÂA\ Supposons que la fonction proposée soit holomorphe par rapport k z dans toute l'étendue du plan; si nous faisons tendre le rayon r^ vers zéro et augmenter r, indéfiniment, les deux parallèles BoCot B|C| s'éloigneront indéfiniment de l'origine de part et d'autre; la série (2) sera donc convergente pour toutes les valeurs de z.
Fonctions de plusieurs variables,
100. Théorème IV. — Une fonction de plusieurs variables indépen-^ dantes, holomorphe par rapport à chacune d'elles dans une certaine étendue, admet une infinité de dérivées partielles, qui sont elles-mêmes holomorphes dans les mêmes étendues.
Soit /(or, y) une fonction des deux variables indépendantes x et y^ holomorphe tant que les points x tiy(Jig. 57) sont situés respectivement dans des parties déterminées A et B du plan. Si l'on attribue a y une valeur constante située dans Taire B, f[x^ y) est fonction holomorphe de la variable x dans l'aire A. D'après le théorème du n^ 86,
Fig. 57.
cette fonction admet une infinité de dérivées partielles relatives k la variable x, et ces dérivées sont fonctions holomorphes de x dans la même étendue. Noifô allons démontrer qu'elles sont aussi fonctions holomorphes de la variable y dans l'aire B. On a, en effet, d'après la
164 UVRB lU. - CHAPITRE 10.
formule (i a) duo" 87,
9 (jr. j 4- ày) — 9 (^,y) = ' ' ' 1 [f{x -+- r«w, j- 4- Aj-)
^^^ Jo
On voit d^abord que 9 (â?, j^) varie d'une manière continue avec^; on a ensuite
9(^, r-+ Ar) — 9(^. r)
re»',
-«li
la quantité € tendant vers z^ro avec ày. Ainsi la fonction 9 (a?» y) admet une dérivée partielle relative à y^
(2) D,?(*,r)= '^^^£''^Tf{^ ^- /^•'.r)^--'rfe.
dérivée que Ton obtient en diSérentiant sous le signe somme.
La fonction ^{oo^y)^ étant fonction holomorphe de y dans Taire B,
admet une infinité de dérivées partielles D^^ [x^ y) relatives à j^, qui sont holomorphes en 7 et qui, en vertu du raisonnement précédent» le
sont aussi en x. On obtient ainsi la dérivée partielle D^*'"/(a:, y)^ qui est une fonction holomorphe de x et j^ dans les aires A et B.
Voici comment on peut avoir l'expression de cette dérivée. D'après la formule rappelée précédemment, on a
D;9(^,r)= "^i- n<^(x,y-^r'e^'^)e-'^'^^dff.
(3) D77(^.r)= ''y;.';';"'/ ^'^""<^^l V(*+«".r+'-v")e--'rfe.
On peut suivre une autre marche. En différcntiant sous le signe somme» d'après la formule (2), on a
mais
donc
Ces deux expressions (3) et (4) se mettent sous la forme
On peut changer Tordre des différentiations. En appliquant la formule (3), on a, en effet,
c'est la formule (4) ; ainsi
(6) D;iî-v(^,r)-i>Jîy""7(^,r).
101. Théorème Y. — Si u et v sont des /onctions holomorphes de z dans une aire k^ f[u^ v) une fonction hohmorphe des deux variables u et 9 dans les aires B e/ C décrites par les points uet v quand le point z décrit Vaire A» cette fonction sera fonction holomorphe- de z dans Vaire A.
Il est évident d*abord que/(u, v) est une fonction continue et monotrope de z dans Taire A; il reste à faire voir qu'elle admet une dérivée. La démonstration est la même que celle que Ton donne habituellement, quand la variable est réelle; on a
Remarque. — Soit /[x^ y) une fonction holomorphe des deux variables X eiy dans les aires  et B; posons
