X- x.-^- hty y. -y^-r ki

Xq étant un point de l'aire A, jo un point de l'aire B, A et il deux constantes; d'après le théorème précédent» on peut regarder/(a;»^) comme une fonction de la variable /» dans une aire C telle que les aires correspondantes décrites respectivement par les points x et y soient comprises dans les aires A et B, et l'on a

En appliquant le même théorème à cette nouvelle fonctioui on a successivement

I>//(^, y) : - A^Bi/-. 3A>ADj.,/- 3/iA-Bi,./- A^B;./,

b; /(x, y) h^Dif-- ^' a-'^b;..^/-. " ^'^-^ a-'A^b; ,^./-. . . ^ a-b;;.

On peut représenter cette dérivée d'ordre n par la formule symbolique

(8) B?/(x, /)=- i AB, 4- AB^)''/(a:, y).

102. Théorème VI. — Lorsqu une fonction f [x ^ y) est holomorphe dans des cercles décrits des points x^ et Vo comme centres^ aiv^ec des rayons R e/ R', elle est développable en une série ordonnée suivant les puissances entières f positives et croissantes de x ^ x^ et y — y^ et convergente dans les mimes cercles.

168 UVRE III. - CHAPITRE m.

La fonclion f[x^ y) est développée suivant les puissances entières, positives et croissantes des différences A = a? — a^o, ^ = J^ — J^e«

103. Remarques. -— Les fonctions de plusieurs variables indépendantes présentent des particularités que nous n'avons pas rencontrées dans Tétude des fonctions à une seule variable. Considérons d'abord une fonction de deux variables

qui soit le quotient de deux fonctions 9 et i]/ holninorphes dans les aires A et B. Supposons qu'aux points x = x^l^z=y^ situés dans ces aires les fonctions ç> et ({/ deviennent nulles à la fois; la fonction

f[x^y) prendra la forme ~; nous allons voir qu'en ces points, c'est-

k-dire pour ces valeurs particulières des variable^, la fonction /(â;,j^] est indéterminée. Si l'on pose a? = a?© H- a/, j^ = j^o -+-y» ^ ety étant de nouvelles variables comprises dans des cercles ayant pour centres les points a^o et ^o» l^s fonctions holomorphes ç> et ij; sont développables en des séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières, positives et croissantes de a/ et dey, et Ton a

fi \ - ^^' "^ by -\' cx'^-\- . . .

En désignant par u' le rapport ^^ 9 cette expression devient et se réduit à

a -4- bu

pour a/ ^ o. Le rapport u étant arbitraire, on en conclut que, pour a? = a?,,, j =^0» la fonction proposée/(a7, y) admet une infinité de valeurs différentes, dépendant des directions suivant lesquelles les points mobiles a; ety tendent vers les points fixes a?o et^o- H est clair que les

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES ENTIÈRES. i69

systèmes de valeurs de x et y pour lesquels la fonction /(â?,j) est indéterminée sont en nombre fini.

Considérons maintenant une fonction

de n variables, qui soit le quotient de deux fonctions holomorpbes 9 et (|;. La même indétermination se présentera pour tous les systèmes de valeurs des variables qui annulent à la fois les fonctions 9 et ^. Il y a un nombre infini de ces systèmes; car il reste n—2 variables arbitraires.

170 LIVRE m. — CHAPITRE lY.