CHAPITRE IV
104. Soit/(z, u) = o une équation algébrique et entière, irréductible, et du degré m par rapport a u. La variable z part d*un point fixe Zq. qui est un point ordinaire, la fonction ayant une valeur déterminée u^; nous nous proposons d'étudier les diverses valeurs de l'intégrale définie
- - / udz^
quand la variable z va du point initial z^ à un point quelconque z du plan par difierents chemins. «
Soient Uo» i^n- • •> <^m-i ^^^ ^ racines de Téquation au point initial z^. Marquons dans le plan les points singuliers, c'est-k-dire les pôles et les points critiques de la fonction algébrique u de z; joignons-les au point z^ par des lacets, et, s'il y a des lacets complexes unissant plus de deux racines, décomposons- les en lacets binaires, unissant chacun deux racines, comme nous l'avons dit au n^ 38. Nous avons expliqué comment on s'y prend pour former un système de m — i lacets binaires fondamentaux, permettant de passer de la racine u^ à toutes les autres. Un système fondamental est formé d'un premier lacet unissant la racine I/o à une autre u^^ d'un second lacet unissant l'une des deux racines u^ ou u^ à une autre u^, d'un troisième lacet unissant l'une des racines u^^ u^^u^^ une autre u^, . . ., enfin d'un dernier lacet unissant Tune des racines i^o» ^i»..» z^m-a ^ 1^ dernière i^m-i • Nous avons démontré que, abstraction faite des lacets parcourus chacun deux fois successivement dans des sens contraires , et dont la suppression ne change pas la valeur de l'intégrale, il n'existe qu'un chemin formé de lacets
PÉRIODES DES INTÉGRALES DÉFINIES. i7i
fondamentaux conduisant d'une racine Ua à une autre racine u^^ celui qui contient le moindre nombre de lacets; nous l'avons désigné par {y)l. Toute ligne fermée qui, partant du point initial Zo» revient à ce point» se ramène à une suite de lacets parcourus dans un sens et un ordre déterminés. Nous appellerons c/c/e une ligne fermée telle que, si on la parcourt avec la racine Ua prise comme valeur initiale, on reproduit à la fin la même racine u^; en remplaçant cette ligne par une suite de lacets, on passera par une série de racines, telles que Ua^ ii^, a^, ag, u^, et le cycle sera représenté par
(«)î + (6)J-f-(c)î-h(rf)J.
Si l'on parcourt cette suite de lacets en commençant par l'un quelconque d'entre eux, et adoptant comme valeur initiale la racine correspondant à l'origine du lacet, on reproduit à la fin cette même racine; ainsi nous pourrons écrire le cycle précédent sous l'une des formes
+ (cii + {d)t
+ (rf)S + («)î
105. Il n'existe pas de cycle effectif composé uniquement de lacets fondamentaux; car un pareil cycle, conduisant d'une racine u^ à la même racine a<x, se ramène a un chemin nul (¥)«» par la suppression des lacets parcourus chacun deux fois successivement dans des sens contraires. Un cycle effectif contiendra donc un ou plusieurs lacets autres que les m— 1 lacets choisis comme lacets fondamentaux. Nous appellerons cycle simple un cycle qui ne contient qu'un seul lacet autre que les lacets fondamentaux. Nous allons faire voir que tout cycle renfermant plusieurs lacets autres que les lacets fondamentaux peut être regardé comme la réunion de plusieurs cycles simples. Par exemple, un cycle renfermant les deux lacets non fondamentaux {a)l, (6)^ peut être représenté par
(V)} et (Y); étant les chemins formés de lacets fondamentaux qui conduisent de la racine Uf^ k la racine u^, ou de a^ à !<«; si l'on remplace
172 LIVRE m. - CHAPITRE IV.
le chemin (V)J par le chemin (V)J-f- (Vji, qui ne diffère du premier que par des lacets égaux et de sens contraires, le cycle devient
(«)ÎH-(V)î-+-{V)i4-(6)î-f-(V)î; il se compose alors des deux cycles simples
(ci)ÎH-(V);, (v)i[-h(6)î-4-(V)s,
parcourus successivement avec la racine initiale u^.
On peut ramener les cycles relatifs aux diiïérentes racines^ ceux qui se rapportent a une racine particulière i^o; en effet, par Tintroduction de deux chemins égaux et contraires, un cycle (C)« relatif a la racine u^ devient
ou
et se rapporte alors a la racine u^.
106. En général, une ligne fermée, partant du point z^ et revenant à ce point, conduit à une racine u^ différente de la racine initiale u^. Ce chemin (C)* peut être remplacé par le chemin
composé du cycle (C)' -f- (V)* ramenant la racine initiale u^^ suivi du chemin (V)^ qui, par des lacets fondamentaux, conduitde la racine u^ à la racine u^^. On en conclut que toutes les lignes fermées qui, partant du point Zo, reviennent à ce point, la fonction ayant la valeur initiale u^^ se ramènent à des suites de cycles simples, suivies de Tun des chemins
formés uniquement de lacets fondamentaux.
Tous les chemins qui vont du point z^ à un point quelconque z du plan se ramènent à un chemin déterminé, par exemple à la droite ZqZ, allant du point z^ au point z, ou à une ligne fermée (C)* , suivie de ce chemin déterminé.
Il est facile, d'après cela, de trouver les diverses valeurs de la fonction y au point z. Appelons cji, 0)2, o,,. .. les intégrales définies relatives aux différents cycles simples, Vô l'intégrale relative à la ligne fermée (V);, Va l'intégrale définie relative à la droite z^z quand on parcourt cette droite avec la valeur initiale u^ de la fonction u. Une ligne fermée quelconque (C)ô se ramenant à une somme de cycles simples suivie du chemin (V)ô, l'intégrale définie relative à cette ligne est
ni G)i -*- n,wa -I- nsWs. . . + Vî,
/I4, /i2t /^s'- • • étant des nombres entiers; on décrit ensuite la droite z^^z avec la racine u^f ce qui donne un nouvel accroissement ¥« de l'intégrale définie, de sorte que la fonction Y acquiert au point z la valeur
V = n, (kl, -h /la Ma H- . . . + Vî -+- V..
On en conclut que, pour chaque valeur de z, la fonction Y admet les m valeurs
Ot
v:-+-v., VÎ-+-V,,..., v:-*4-v«.,
augmentées de multiples quelconques de certaines périodes a»,.
En intégrant par parties» on a
J/tZ /»«
f udz=z liz — UtZ^— I z du ;
z étant une fonction de u définie par Téquation proposée, on peut regarder Y comme une fonction de u; si n est le degré de l'équation par rapport à z, on en conclut qu'à chaque valeur de u correspondent n valeurs de Y, augmentées de multiples des périodes Oi, 02, c»,,....
107. Examinons maintenant les difi*érentes sortes de points singuliers. Considérons d'abord un système circulaire de p racines finies se permutant autour d'un point critique a; si l'on pose z = a -h z\ ces racines sont représentées par une même série convergente (n^ 96)
(i) u=b'{-b'z'P'hb"z' P -f-.,,.
i7i LIVRE III. - CHAPITRE IV.
Si, lorsque la variable z se rapproche du poinla, la fonction algébriques a Tune des valeurs faisant partie du système des p racines, l'intégrale tend vers une valeur finie A, et Ton a
(9.) V=A-f-6z'H t—b'z'P -h 1^ fz' P -f-....
La branche' correspondante de la fonction Y, dans le voisinage du point a, acquiert donc/? valeurs diflerentes, qui se permutent circulairement, et, par conséquent, le point a est un point critique algébrique par rapport à cette branche de la fonction V.
Au système circulaire des p racines correspondent p lacets binaires positifs
la partie de Tintégrale défioie relative au petit cercle étant infiniment petite pour chaque lacet, Tintégrale relative à un lacet {a)i est la somme des intégrales relatives à la ligne z^a, décrite une première fois avec la racine u^t et une seconde fois, en sens contraire, avec la racine Uf^. La somme des intégrales relatives aux p lacets binaires positifs est ideutiquement nulle; car chaque élément de la ligne z^a est parcouru deux fois, dans des sens contraires, avec la même racine. On peut remarquer, d'ailleurs, que la somme des parties infiniment petites relatives au petit cercle est aussi identiquement nulle; car, lorsque la variable z' décrit p fois successivement ce petit cercle, l'intégrale y donnée par la formule précédente reprend la même valeur. Si doDc on représente par al l'intégrale définie relative au lacet {a)[, on a
on en déduit
Nous dirons que deux chemins conduisant d'une racine Ug^ à une racine Mp sont équivalents, relativement à la racine ««, lorsque les intégrales définies suivant ces deux lignes, parcourues avec la racine initiale Ma, sont égales. Il résulte de ce qui précède que le /?'^'"' lacet positif (a)î*. du système circulaire est équivalent, relativement a la ra-
cine u,^^, au chemin formé par les /? — i premiers parcourus en sens négatif. On peut donc réduire les p lacets de chaque système circulaire à /i — I d'entre eux.
Dans le cas particulier où le système circulaire ne se compose que de deux racines a^ et u^, quand on décrit le lacet (a) avec la racine initiale u^ dans un sens ou dans Tautre, on arrive toujours à la racine u^\ lorsque l'intégrale suivant le petit cercle est» comme nous le supposons, infiniment petite, l'intégrale définie relative au lacet a la même valeur, quel que soit le sens dans lequel on décrit le lacet. Ainsi , avec la racine initiale u^,, on peut décrire le lacet indifféremment dans un sens ou dans l'autre. La même chose a lieu quand on décrit le lacet avec la racine initiale u^. En outre, les intégrales que l'on obtient dans ces deux cas sont égales et de signes contraires.
Un système circulaire de p racines infinies d'un degré inférieur à l'unité jouit des mêmes propriétés. Il suffit de supposer que, dans la formule (i), le nombre entier q est négatif et plus petit que p en valeur absolue; l'intégrale tend vers une valeur finie A, quand z' tend vers zéro ; la branche de la fonction Y, représentée par la formule (2), acquiert, dans le voisinage du point a, p valeurs finies qui se permutent circulairement, et le point a est un point critique algébrique par rapport à cette branche de la fonction. Les intégrales définies relatives au petit cercle étant infiniment petites, tout ce que nous avons dit des lacets subsiste sans modification.
108. Considérons actuellement un pôle a de la fonction u\ la racine, qui devient infinie en ce point, est représentée par la série (n^ 96)
(3) a = Az'-* + Bz'-ï 4- ... 4- H V-' H- L -+- M-s' 4-
La branche correspondante de la fonction Y devient infinie en ce point, et elle est représentée dans le voisinage par la série
(4) Y=: — ^ 5'-.-4- -J- 2"-^ -f-. . . -h H logz' -f- K-h L5' -h. . . .
Quand la variable z tourne autour du point a, la branche de la fonction Y acquiert un nombre infini de valeurs formant une progression
176 LIVRE lU. - CHAPITRE IV.
arithmétique dont la raison est anEi. Le pointa, par rapport à cette branche de la fonction Y, est un point singulier logarithmique (u^ 60), k moins que le coefficient H ne soit nul , et dans ce cas le point a serait un pôle de la fonction Y. Supposons qu'on décrive le lacet (a) joignant le point initial js^ au pôle a avec la racine 11^$ qui devient infinie au point a, on revient au même point Zo avec la même racine !!«; la droite ^o^o qui joint le point Zq k un point z^ du petit cercle, étant décrite dans des sens contraires avec la même racine, Tintégrale définie relative au lacet se réduit k la partie relative au petit cercle, c'està-dire, d'après la formule (4)» k snHi. Le lacet {a)l relatif au pôle a ne fait pas partie des lacets fondamentaux; il forme k lui seul un cycle simple, que nous appellerons cycle polaire, et donne la période anHi.
109. Considérons enfin un système circulaire de p racines infinies, d'un degré égal ou supérieur k I unité, se permutant autour d'un point critique a. Si l'on pose z = a-^ z\ cesp racines sont représentées par la série convergente
-i izl ^JZl ■
(5).. u = Az' P-^Bz'p -f-Cz'/» 4-...H-Hz'-'4-L-f-Mzi^4-...,
dans laquelle le nombre entier q est égal ou supérieur k p. Si, lorsque z se rapproche du point a, la fonction algébrique u a l'une des valeurs faisant partie du système des p racines, l'intégrale devient infinie, et l'on a
(6) Y = £—AV~~^~-h...-i- mogz'-hK-hLz'-h-^—Mz' '^ -h.. ..
Quand la variable tourne autour du point a, la branche correspondante de la fonction Y acquiert d'abord p valeurs difi*érentes; après /i tours, la première valeur se reproduit augmentée de 2/?rrH{, puis la seconde valeur augmentée de la même quantité, et ainsi de suite. La branche de la fonction Y acquiert donc/? séries de valeurs formant des progressions arithmétiques dont la raison est :kpnYLi. Le point a, par rapport k cette branche de la fonction Y, est un point singulier logarithmique, k moins que la constante H ne soit nulle, et dans ce cas ce serait un point critique algébrique.
Le lacet qui unit le point initial z^ au point a est la réunion de p
lacets binaires positifs; sur chacun d'eux, la partie de l'intégrale définie qui se rapporte au petit cercle n'est plus infiniment petite; si Ton fait la somme des intégrales définies relatives aux p lacets binaires positifs, chaque élément de la droite z^z^^ qui joint le point z^ k un point z^ du petit cercle, étant parcouru dans des sens contraires avec la même racine, la somme des intégrales se réduit à la partie relative au petit cercle décrit/? fois successivement, c'est-à-dire, d'après la formule (6), à 2/i7rHi. On a ainsi
Les p lacets binaires forment un cycle que nous appellerons encore cycle polaire, et qui donne la période ^pnVLi.
110. Pour étudier la fonction Y, quand la variable z devient trèsgrande^ on pose z = —» a = vz'^, et la fonction V prend la forme
l'équation algébrique /(2,u) = o se change en une équation algébrique ¥{z', {^) = o entre z' et i^. Toutes les circonstances que nous venons de rencontrer peuvent se présenter ici pour z' = o. Nous allons du point Zq au point 0^ sur la sphère, par un arc de grand cercle; si pour z' = o les m racines de l'équation ¥{z\ ç) = o sont simples et finies, chacune des branches de la fonction Y est une fonction holomorphe de z\ dans le voisinage du point z' = o. Si , dans le voisinage du point 0', l'équation a un système circulaire de p racines finies ou de p racines infinies d'un degré inférieur à l'unité, l'intégrale reste finie, et la branche correspondante de la fonction Y acquiert p valeurs difierentes se permutant circulairement quand la variable tourne autour du point 0', qui, par rapport à cette branche, est un point critique algébrique. Si le point 0' est pôle par rapport à une racine, la valeur correspondante de l'intégrale devient infinie en ce point et la branche de la fonction Y acquiert une infinité de valeurs en progression arithmétique; le point 0' est, relativement à cette branche,
i78 UVRB ni. - CHAPITRE IV.
lin point singulier logarithmique, k moins que le coefficient H ne soit nul 9 et dans ce cas ce serait un pôle. Enfin, si Téquation F(s\ v) = o a un système circulaire de p racines infinies d'un degré égal ou supérieur a un , les valeurs correspondantes de Tintégrale devieniieot infinies; quand la variable tourne autour du point 0', la branche de U fonction Y acquiert /? valeurs augmentées chacune d'un multiple quelconque de la période apnïLi; le point 0' est, par rapport k cette branche de la fonction Y, un point singulier logarithmique, à moins que le coeiTicient H ne soit nul, et dans ce cas ce serait un point critique algébrique.
Nous savons (n^39) qu'au lacet qui sur la sphère unit le point z» au point 0' correspond dans le plan un circuit formé d'une droite z»/et d'une circonférence d'un très-grand rayon, ayant pour centre le point 0. L'intégrale définie, relative a l'un des lacets binaires {(y)l décrit avec la racine initiale Ua^ et dans le sens négatif pour un observateur plAcé en 0', est égale à l'intégrale relative au circuit décrit avec la même racine dans le sens positif; le circuit se ramenant à la suite des lacets (a,), (^2)9 (^s)»-*» qui correspondent aux valeurs finies de z, on en conclut que chaque lacet binaire {0')l est équivalent au chemin formé par certains lacets binaires tracés dans le plan. La considération du lacet (0') n'introduit donc aucune valeur nouvelle de l'intégrale définie, ni aucune nouvelle période.
Cas où rintégrale reste finie sur toute la sphère.
111. 11 résulte de ce que nous avons dit précédemment que, si l'équation proposée /(z, u) = o pour aucune valeur finie de z, et l'équation transformée Y{z'yv) = o pour z'=o, n'admettent des racines infinies d'un degré égal ou supérieur à l'unité, les différentes branches de la fonction Y conservent des valeurs finies sur toute la sphère, et, par conséquent, que la fonction Y ne peut devenir infinie que par Tâddition d'un nombre infini de périodes. Cette condition d'ailleurs est nécessaire. Dans ce cas, il n'y a pas de cycle polaire; toutes les périodes proviennent des cycles simples que l'on peut former avec les lacets binaires relatifs aux points critiques.
Les p lacets binaires relatifs k un même système circulaire de racines se réduisant ^ p — i d'entre eux, le nombre des lacets binaires dans le plan est N = 2 (/i — i). Nous en avons pris m — i pour former un système de lacets fondamentaux; il en reste N — (m— i) autres; chacun de ceux-ci avec des lacets fondamentaux formant un cycle simple, le nombre des périodes est N — (m — i); mais on peut en général les réduire à un moindre nombre de périodes distinctes. Voici comment on se rend compte de la possibilité de cette réduction.
Nous remarquons d*abord que, par une transformation facile, on peut faire en sorte que les points diamétralement opposés 0 et 0' sur la sphère soient des points ordinaires. Soient, en effet, z^ et z^ deux valeurs de jz pour lesquelles réquation/(jz, i/) = o n'admette que des racines simples et finies; si Ton pose z = -^—7 ^> a étant une constante
prise à volonté, les valeurs 2' = o, z' = oo correspondent respectivement aux valeurs z =^ z^, z ^ z^\ û l'on pose en outre u = ^ —'i
l'intégrale devient
V= rudz= f u'dz\
et l'équation proposée /(2, u) = odu degré m en u se change en une équation F {z\ u') = o du même degré en u!. Sur la sphère qui sert à figurer la nouvelle variable z\ les points 0 et 0', c'est-à-dire z'= o et z' = Qo , sont des points ordinaires.
Supposons donc que les points 0 et 0' sur la sphère soient des points ordinaires; dans l'intégrale V faisons partir la variable de l'origine 0, la fonction u ayant une yaleur initiale déterminée u^; joignons le point 0 aux différents points critiques a,, a,,. .. du plan par des lacets {fig. 58); le nombre N' des lacets binaires est maintenant plus grand que N, puisqu'on a ramené dans le plan le point 0' qui était primitivement un point critique. Le point 0' sur la sphère étant actuellement un point ordinaire, le lacet (0'), parcouru avec une racine initiale quelconque u^f ramène cette racine et donne une intégrale définie nulle; le circuit correspondant dans le plan jouit de la même propriété. Si donc on imagine le circuit parcouru dans le sens positif successivement avec chacune des racines, ce qui fait m circuits diffé-
180 UVRE in. - CHAPITRE IV.
rents, et si l'on écrit que la somme des intégrales relatives aux lacets binaires qui entrent effectivement dans chaque circuit est nulle, on obtiendra m relations linéaires entre ces intégrales. Chacune d'elles donne une relation entre les périodes; car, puisqu'un circuit peut être ramené à une suite de cycles simples par l'introduction de chemins formés
Fie. ^^'
de lacets fondamentaux et parcourus chacun deux fois dans des sens contraires (n^ 105), il suffit de remplacer dans Téquation les termes qui se rapportent aux lacets non fondamentaux par les périodes correspondantes.
Mais les m relations ainsi obtenues ne forment que m—\ relations distinctes. Remarquons en effet qu'un lacet binaire positif [a)\ entre dans un circuit et dans un seul; car si, partatit de l'entrée de ce lacet avec la racine u,, on remonte les lacets précédents, on arrive à l'entrée du circuit avec une racine déterminée u^\ le lacet positif (a)^ entre donc dans le circuit (C)*. Le dernier lacet binaire positif du système circulaire auquel appartient le lacet {d)\ entre aussi dans un circuit (C)/ ; comme on a remplacé ce lacet par l'ensemble des /i — i premiers parcourus en sens négatif, il s'ensuit que le lacet binaire négatif (— a)\ entre dans le circuit (C)^. Ainsi, après la substitution, chaque lacet binaire entre dans deux circuits; dans l'un il est décrit dans le sens positif, dans l'autre en sens contraire; la période correspondante entre, par conséquent, avec des signes contraires dans les équations relatives à ces deux circuits. Si donc on ajoute les premiers membres des équations fournies par les m circuits, la somme totale, étant formée de termes
PÉRIODES DES INTÉGRALES DÉFINIES. i8i
égaux deux à deux et de signes contrairest est identiquement nulle» et les m équations se réduisent à m — i. On aura ainsi m — i relations linéaires entre les N'— (m — i) périodes; nous allons faire voir que Ton peut, k l'aide de ces relations, exprimer m — i périodes en fonction des autres, de sorte que le nombre des périodes distinctes est N'— 2 (m — i).
112. Sur la sphère, les lacets considérés jusqu'à présent, et que nous appellerons lacets de première espèce, sont formés d'arcs de grand cercle allant du point 0 aux différents points critiques et de petits cercles décrits autour de ces points. Nous avons désigné par Uq^u^,..,, a„,i les valeurs des m racines de l'équation au point 0; désignons par li^ , <^i 9 • • * <^m-, les valeurs de ces racines au point 0' quand la variable z va de 0 à 0', en suivant le demi-méridien OLO' qui se projette sur le rayon 0/ du circuit [fig. 69). Nous pourrons effectuer la permutation
Fig. 59.
-Jî
des racines au moyen de lacets partant du point 0' et formés, comme les précédents, d'arcs de grand cercle allant du point 0' aux différents points critiques et de petits cercles décrits autour de ces points; mais rien n'empêche de regarder ces nouveaux lacets comme partant aussi de l'origine 0; il suffit de faire précéder chacun d'eux du demi-méridien OLO', et de le faire suivre du même demi-méridien O'LO en sens inverse. Par exemple, si un lacet parlant du point 0' permute les deux racines u^ et u| , il est évident que le même lacet, complété comme nous l'avons dit, permutera les deux racines u» et u^. Nous donnerons à ces nouveaux lacets ainsi complétés le nom de lacets de seconde espèce^ et nous les distinguerons de ceux de première espèce, en accentuant la
182 LIVRE ni. - CHAPITRE IV.
lettre qui indique le point critique. Remarquons que, quand deux lacets relatifs au même point critique et d'espèces différentes sont décrits dans le sens positif, le petit cercle est parcouru dans le même sens; car, dans les deux cas, Taire du cercle doit être à gauche de l'observateur. Soient
les/i lacets binaires de première espèce qui se rapportent à un système de p racines se permutant circulairement autour du point critique a. Si l'on remonte la suite des lacets de première espèce à partir de TenUrée du lacet (a], successivement avec chacune des racines u,,, ^ftt- • •• ^«^,« on arrivera à Torigine du circuit avec p racines différentes u^^ u^t-* •• li. /, il en résulte que \esp lacets binaires entrent respectivement dans
les D circuits
Le lacet de seconde espèce (a'), parcouru dans le sens positif, peut être remplacé par la ligne OABDO, ou par la ligne OABO suivie de la ligne OBDO. Si on le décrit avec la valeur initiale u^, la ligne OABO, se ramenant à la première partie du circuit (C);;^, depuis Torigine du circuit jusqu'k la fin du lacet (a)^;, conduit a la racine Ug^; la seconde ligne OBDO se ramenant à la première partie du circuit (C)«;, depuis rentrée du lacet (a)|| jusqu'à l'origine du circuit en remontanf, conduit à la racine u«^; le lacet de seconde espèce unit donc les deux racines M,^ et M.,; on le représentera par {a')"^. En décrivant ce même lacet avec la valeur initiale u.^, on arrivera à la racine i/.,, et ainsi de suite. On obtiendra de la sorte \esp lacets binaires de seconde espèce.
permutant circulairement les p racines i^.,, i/.,, .., //.,. A chaque système circulaire de p lacets binaires de première espèce correspond ainsi un système dep lacets binaires de seconde espèce.
Il résulte aussi de ce qui précède que les lacets de seconde espèce qui changent une racine déterminée u^ en une autre sont ceux qui cor^ respondent aux lacets binaires de première espèce entrant effectivement dans le circuit (G)^
^84 LIVRE m. — CHAPITRE IV.
premiëre membre k membre , et l'on obtiendra un système de m — 3 équations ne contenant plus &>| et o), et jouissant des mêmes propriétés. En continuant de la sorte, comme on n'arrivera pas à une identité, on sera conduit k une équation entre les périodes (ù^^^^ (ù^^. . ., qui donnera la période cd;,^, par une somme algébrique des périodes suivantes
W/n* '^m+t En remontant de proche en proche, on obtiendra les
m — I périodes o),, cos,..., co,„i exprimées par des sommes de multiples des autres périodes.
113. Appliquons les considérations précédentes à Tintégrale définie
V= f\ d' = Ç'udz,
Jo ^G{z — a^)(z — ai).. (a — rt.) J„
u étant défini par Téquation du second degré
Marquons dans le plan les n points critiques a^/a^^..., a„ dans Tordre où ils se présentent quand le rayon vecteur tourne dans le sens positif, et formons les lacets qui joignent l'origine à ces points critiques. Pour z = o, la fonction u a deux valeurs, i^o et ii, = — u^\ chaque lacet unit ces deux racines. Les deux valeurs de u deviennent infinies en chacun
des points critiques; mais, comme elles sont du degré - inférieur k
l'unité, l'intégrale conserve une valeur finie et acquiert deux valeurs différentes quand la variable z tourne autour de l'un de ces points. L'intégrale définie relative à l'un des lacets (a) se réduit à la partie relative à la droite Oa parcourue deux fois dans des sens contraires avec des valeurs de u égales et de signes contraires, et par conséquent k deux fois l'intégrale suivant la droite Oa. Si donc on appelle A,, A,, . . . , A» les intégrales définies relatives aux droites Oa,, Oa^, . . . , Oa^, décrites avec la valeur initiale u^, les intégrales relatives aux lacets seront ^A,, 2A2,...,^A;i. Le premier lacet servira de lacet fondamental, les autres avec le premier formeront /i — i cycles simples, et produiront, par conséquent, n — i périodes
0), = 2A1 — 2A,, «5 = 2 Al 2A8, ..., COfl-, ^ 2A1 — 2A„.
PÉRIODES DES INTÉGRALES DÉFINIES. iStt
Soit Vo Tintégrale définie relative à la droite qui* va de Torigine à ud point quelconque z du plan, quand on prend la valeur initiale u^\ un chemin formé du lacet fondamental (ai) suivi de la droite Oz donnera aA| — Vo; car, après le lacet, la fonction u, ayant changé de signe, a en chaque point de la droite Oz une valeur égale et de signe contraire à celle qu'elle avait précédemment. On en conclut qu'à chaque valeur de z correspondent deux séries de valeurs de V, savoir V© et 2 A, — Vo, augmentées de multiples quelconques des périodes. Pour z = a^ on a
et les deux séries de valeurs de Y sont égales entre elles; pour z = aa, on a
V,= Aj, aA,— ¥,=::: îA,— Aj= A, -+-«,,
et les deux séries de valeurs de Y sont encore égales entre elles, etc. Si Ton pose z = -^» w = çz'^^ on a
V= / udz=:^- vdz\
Lorsque h = ti, l'intégrale V n'admet qu'une période g)4==2A4 — 2A3. Le point 0' sur la sphère , étant pôle de la fonction v, est un point .
critique logarithmique de la fonction V qui devient infinie an ce point;
il en résulte la période polaire --=r- Le lacet (0') pouvant être remplacé par les deux lacets successifs (a,) et (aj), on a
r,), = a Al — a Aï r^ -=- •
VG
Quand n est plus grand que 2, la fonction Y conserve une valeur
finie sur toute la sphère. Lorsque n est impair, le point 0' est un point
critique par rapport à la fonction v^ et les n — i périodes sont distinctes.
Mais, lorsque n est pair, le point 0' étant un point ordinaire, et l'in-
186 LIVRE m. — GHANTRE IV.
tégrale définie relative au lacet (0'), ou au circuit correspoudaut, étant
nulle, on a
2A, — 2AïH- 2A3 — . . — 2A« = o;
d'où résulte la relation linéaire
Wi — 6)j H- . . -h &>«i = O
entre les périodes, qui se réduisent à /i — 2 périodes distinctes. Ainsi, pour n = 2n' — I et n = 2n\ le nombre des périodes est le même et égal k 2n' — 2. C'est ce qu'indique d'ailleurs la loi générale énoncée au n^ 111 ; dans les deux cas, il y a sur la sphère 2n! points critiques unissant chacun les deux racines de l'équation; on a donc N'= an', et le nombre des périodes distinctes est N' — 2 = a/i'— a.
C'est Cauchy qui a indiqué le premier d'une manière précise l'origine des périodes des intégrales définies [Comptes rendus, 1846). Nous nous sommes servis dans ce Chapitre du Mémoire de M. Puiseux sur les fonctions algébriques, que nous avons déjk cité (n^ 34), et du livre de MM. Clebsch et Gordan sur les fonctions abéliennes (1866).
