CHAPITRE PREMIER
THéORÂMES GÉNÉRAUX SUR LES FOlfCTIONS.
Fonctions monotropes.
114. Théorème I. — Une fonction^ holomorphe dans une certaine partie du plan ^ ne peut avoir toutes ses dérivées nulles en un point, à moins d'être constante dans cette étendue.
Nous avons démontré (n^ 87) que, lorsqu'une fonction /(^) est holomorphe dans une partie  du plan, elle admet une infinité de dérivées
Fig. 60.
successives, qui sont toutes bolomorphes dans la même étendue. Supposons que la fonction ait toutes ses dérivées nulles au point z^ situé dans cette partie du plan. Du point z^ comme centre décrivons un cercle
compris dans la partie A du plan {fig. 60); la fonction /(^s) est déve* loppable, d*aprës la formule de Taylor, en une série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de z — z^, et convergente dans ce cercle (n^ 95). Si toutes les dérivées sont nulles au point z^, la série se réduit à/(z) =/(zo); il en résulte que la fonction est constante dans le cercle, et par conséquent qu'en un point quelconque du cercle toutes ses dérivées sont nulles. D'un point z, pris à volonté dans le premier cercle, comme centre, décrivons un second cercle situé aussi dans la partie A du plan; on verra de même que la fonction /(z) est constante dans ce second cercle. En continuant ainsi de proche en proche, on démontrera que la fonction est constante dans toute l'étendue de Taire A.
Corollaire. — Lonqvûune Jonction^ hoiomorphe dans une certaine partie du plan, conserve une valeur constante sur une Ugne^ si petite qiCeOe soit, elle est constante dans toute cette étendue.
Supposons que la fonction /(z), hoiomorphe dans la partie A du plan, conserve une valeur constante quand la variable z décrit la ligne ab située dans cette partie du plan. Prenons deux points voisins z«
ffjg ] f(z )
et z, sur la ligne ab; le rapport ^^-^-^^ — =^-^-^ est nul; sa limite, quand
le point Z| se rapproche de z^, est aussi nulle; ainsi la dérivée/' (z) est nulle en tous les points de la ligne ab. La seconde dérivée est nulle pour la même raison, et ai^si de suite. Toutes les dérivées étant nulles en un point z^ de la ligne ab, on en conclut que la fonction est constante dans l'aire A.
115. TnÉoRàME 11. — Lorsqu'une fonction est hoiomorphe dans une partie finie du plan, chaque racine est d'un degré entier et fini, et leur nombre est limité.
Soit/(z) une fonction hoiomorphe dans la partie A du plan enve* loppée par la courbe C; traçons k l'intérieur une courbe C voisine de C. Supposons que la fonction /(z) s'annule en un point a situé à l'intérieur de la courbe C; un certain nombre de dérivées successives peuvent être nulles en ce point; mais il est impossible qu'elles le soient toutes, car alors la fonction serait nulle dans toute l'aire A. Soit donc n l'ordre de la première dérivée qui ne s'annule pas au point a; si da
PROPRIÉTÉS GÉNÊRALKS DES FONCTIONS. i9ù
point a comme centre {^g. 61), on décrit un cercle compris dans la partie A du plan, ta fonction proposée sera développable en une série
ou
conTergente dans ce cercle. Il en résulte que le quotient de/(z) par {z — ay^ quotient que nous désignerons par9(js)» est dans le cercle une fonction holomorphe, ne s'annulant pas au point a; c'est aussi une fonction holomorphe dans la partie de Taire A extérieure au cercle,
Fig. 61.
comme quotient de deux fonctions holomorpbes, dont la seconde, (z — a)", ne s'annule pas. Ainsi la fonction /(z), holomorphe dans Taire A et s'annulant au point a, est égale au produit de (z — a)" par une fonction f («), holomorphe dans la même étendue et ne s'annulant pas au point a. On dira, d'après cela, que la valeur .s = a est une racine ou un zéro du degré n de la fonction /(z).
Dans le cercle précédent , dont nous appelons p le rayon, la fonction (f[z) est réprésentée par la série convergente
On peut assigner un nombre pi égal ou inférieur k p, tel que, pour toutes les valeurs de Jt — a dont le module est inférieur k (9,, le module
du premier terme soit plus grand que la somme des modules de tous les autres termes; il est clair que le cercle décrit du poiDt a comme centre avec le rayon p^ ne comprendra aucune racine de la fonction ^(s)» et, par conséquent, ne comprendra aucune racine de la fonction /( 2) autre que a.
Il en résulte que le nombre des racines situées dans l'aire A| enveloppée par la courbe C est limité. Supposons, en effet, que cette aire comprenne une infinité de racines; divisons-la en plusieurs parties d'une manière quelconque, Tune des parties A), au moins, comprendra une infinité de racines; subdivisons celle-ci en plusieurs parties; Tune d'elles Aa, au moins, comprendra une infinité de racines; en continuant de la sorte, on formera une série indéfinie d'aires A,, A3, Ag,... de plus en plus petites, comprenant chacune une infinité de racines, et contenant chacune toutes les suivantes. Comme on peut mener les transversales de manière que toutes les dimensions de l'aire An tendent vers zéro, quand n augmente indéfiniment, il est clair que les aires ont pour limites un point déterminé z, du plan; il serait impossible de décrire un cercle ayant pour centre ce point et ne comprenant aucune racine autre que le point z«.
G)ROLLiiiRE. — De l'égalité
f(z) = {z-ar<f{z)
on déduit
la fonction (p(z) étant bolomorphe dans l'aire A et ne s'annulant pas au point a. On en conclut qu'une racine du degré n de la fonction pro* posée est racine du degré /i — 1 de la première dérivée, du degré n — 2 de la seconde dérivée, etc.
116. Théorème III. — Lorsqu'une fonction est méromorphe dans une certaine partie du plan, il est impossible qui! en un point situé dans cette partie du plan la fonction et toutes ses dérivées soient nulles.
Soit/(js) une fonction méromorphe dans la partie A du plan enveloppée par la courbe C(yî^. 6a); traçons à l'intérieur une courbe
fermée Q voisine de G. Considérons un point racine a situé à Tinté» rieur de la couilie C; d'après la définition de la continuité, il est pos-* sible de décrire, de ce point comme centre, un cercle tel, qu'en tous
Fig. 6a.
les points intérieurs le module de la fonction soit moindre qu'un nombre donné; ce cercle ne comprendra aucun pôle de la fonction.
Supposons maintenant qu'au point a la fonction et toutes ses dérivées soient nulles. Du point a comme centre, avec un rayon égal ou inférieur à la distance du point a au pôle a le plus voisin, décrivons un cercle compris dans l'aire A; la fonction/(z) , étant holomorphe dans ce cercle, serait nulle dans toute l'étendue du cercle. Si le rayon du cercle est égal k la distance du point a au pôle voisin «, on aurait un point racine aussi rapproché du pôle a que l'on voudrait, ce qui est impossible. Si le rayon est plus petit que cette distance, d'un point a' intérieur au cercle, avec un rayon égal ou inférieur k la distance du point c^ au pôle le plus voisin, décrivons un second cercle compris aussi dans l'aire A; en s'avançant ainsi de proche en proche, on arriverait à un point racine aussi rapproché qu'on voudrait d'un pôle, ce qui est impossible.
117. Théorème IY. — Lorsqu une fonction est méromorphe dans une partie finie duplan^ les racines et les pôles situés dans cette partie du plan sont chacun d*un degré entier etfiniy et leur nombre est limité.
Conservons les mêmes notations que dans le numéro précédent. Soit a un point racine situé à l'intérieur de la courbe C ; du point a comme centre, avec un rayon p égal ou inférieur k la distance du point a
au p6le le plus voisin » décrivons un cercle compris dans Taire A; la fonction /(s) étant bolomorphe dans ce cercle, et toutes les dérivées ne s'annulant pas au point a, la racine a est d'un degré entier et fini n, qui est Tordre de la première dérivée qui ne s* annule pas au point a (n^ 115), et Ton a
f (z) étant une fonction bolomorphe dans le cercle p et ne s'annulant pas au point a; cette fonction f (z), méromorpbe dans Taire A, a les mêmes pôles et les mêmes racines que la fonction /{z), excepté la racine a.
On peut, en outre, déterminer un nombre pi inférieur ou égal à p, tel que le cercle décrit du point a comme centre avec le rayon p, ne comprenne aucune racine de la fonction 9(2), et Ton démontre, comme précédemment, que le nombre des racines situées dans la partie A du plan est limité.
Considérons maintenant la fonction jt—j qui est méromorpbe dans
Taire A, comme la fonction /(js), et qui admet comme racines les pôles de celles-ci. Soit a un pôle de la fonction/(«); ce point est une racine
d'un degré entier et fini n de la fonction j^—r^ et Ton a
f{z) étant une fonction méromorpbe dans Taire A, qui ne devient ni nulle, ni infinie au point a. On en déduit
la fonction ^{z), qui est égale h —j-i^ étant aussi méromorpbe dans
Taire A, et ne devenant ni nulle, ni infinie au point a. On dit, d'après cela, que la valeur z = a est un pôle ou un infini du degré n de la fonction /(z).
Puisque la fonction j^ n'admet qu'un nombre limité de racines
dans l'aire A, il en résulte que la fonetion/(2) n'admet qu'un nombre limité de pôles dans cette étendue.
118. Théorème V. — Une fonction f[z)^méromorphe dans une partie finie A du plan, est égale à une fraction rationnelle ^ plus une fonction holomorphe dans cette partie du plan,
La fonction /(z) admet, dans l'aire A, un nombre fini m de pôles a, p, 7,... de degrés /i, p, 7,... En vertu du théorème précédent, la fonction
^(z)r=.{z-CtTf{z)
est holomorphe dans le voisinage du point a; elle peut donc se développer en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de 5 — a, convergente dans un cercle dont le centre est a, et l'on a
I I<^.i.( fl ~" — I I
la fonction/, (2) étant holomorphe dans le cercle de convergence. On en déduit
^. ^ ^. , ^(ol) I i.2...(/i— I)
La fonction/, {z) ainsi définie est méromorphe dans l'aire A, et admet les mêmes pôles que la fonction /(:;), excepté le pôle a. De même la fonction
est holomorphe dans le voisinage du point ]3; si on la développe en série, on a
la fonction / (:;) étant holomorphe dans le cercle de convergence. On
en déduit
La fbnction/a(z) ainsi définie est méronoorphe dans Taire A, et admet les raémes pôles que la fonction /(s), excepté a et p.
En continuant de cette manière, on arrive à une fonction/,, (2) holomorpbe dans Taire A, et Ton a
''^ ' (2 — a)" (s — a)— z—cL
119. Remarques. — La fonction 1]; (z) ne s*annulant pas au point a, il en résulte que le coeifîcient A„ de la première fraction qui se rapporte à ce point n'est pas nulle; il en est de même des coefficients B^,.... Mais les aulres coefTicienls A„,,..., A,, B^,,... peuvent être nuls.
Les coefficients Ao B4,. . . des fractions du premier degré sont ce que Cauchy appelle tes résidus de la fonction /(:;), relativement aux pôles a, /3, . . ., et il les désigne par le symbole C [Anciens Exercices^ 1826). Ainsi
La dérivée/' (:;) ne contenant pas de fractions du premier degré, tous ses résidus sont nuls.
Remarquons aussi que la fonction proposée peut se mettre sous la forme
-^^ * (z^aY[z-^)p...''
la fonction F (2) étant holomorphe dans Taire A.
120. Tbeorjsme YI. — Lorsqu^ une fonction f [z) est méromorphe dans
gral'es relatives aux circonférences infiniment petites, décrites cliacune dans le sens positif par rapport à Taire du cercle {fig. 64).
Evaluons niaintenant les intégrales relatives à ces petites circonférences. Considérons, par exemple, l'intégrale relative à la circonférence dont le centre est le pôle a. Nous avons vu que
la fonction /, (3) étant holomorphc dans le cercle. Si l'on pose
il vient
z ■-— OL -i- pe*',
Les 71 — I premières intégrales sont nulles; la suivante a pour valeur 27r; quant à la dernière, puisque la fonction/, {z) estholomorphe dans le cercle, elle est aussi nulle. On a donc
ip)
Les intégrales, le long des autres circonférences, donnent pareille-
mentBi^G,, — On en déduit
■ — . / A2) rf^ --- A,-r-B, -i- C, -h
121. LsifME. — Lorsqu'une fonction /{z) est méromorphe dans une partie A du plan^ le résidu de la fonction D Iog/{z) en chacun des points est égal à l'ordre de la fonction f[z) en ce point.
Il résulte du théorème IV que, quelle que soit la valeur de la fonction/(z) en un point / situé dans la partie A du plan, il existe un nombre entier n, positif, négatif, ou nul , tel que le quotient
né devienne ni nul, ni infini au point /; ce nombre entier n est ce qu'on appelle Y ordre de la fonction/(z) au point /. Lorsque la fonction/(z) n'est ni nulle, ni infinie au point /, l'exposant n ou Tordre, en ce point , est égal à zéro; lorsqu'elle s'annule, l'ordre est positif; lorsqu'elle devient infinie, l'ordre est négatif.
La fonction Dlog/(z) ='j^^f quotient de deux fonctions méro-
morphes dans l'aire A, est aussi méromorphe dans cette partie du plan; ses pôles ne peuvent être que les zéros ou les infinis de f{z). Soit d'abord a un zéro du degré n de f{z), on a
la fonction 9(2) ne devenant ni nulle, ni infinie au point a. On en déduit
Ainsi le pointa est un pôle simple de la fonction D log/(2), et le résidu correspondant est n. Soit maintenant oc un infini du degré />
def(z): on a
la fonction ^{z) ne devenant ni nulle, ni infinie au point a. On en déduit
Diog/(z)^-^:A-f.-t^;.
On en conclut que le point a est un pôle simple de la fonction D log/(z)« et le résidu correspondant est —p.
122. Théorème VIL — Lorsqu'une /onction /{z) est méromofphe dans une partie du plan^ à contour simple, la somme des otdres de la fonction, dans cette partie du plan, est égale à V intégrale définie
'—,Jmo%f{z)dz,
relative au contour de l'aire ou à une courbe infiniment voisine, prise dans le serù positif . *
Désignons par a Tun quelconque des zéros et par a Tun quelconque des infinis de la fonction /(z); appelons n le degré du zéro, p celui de rinfini. Nous avons vu que la fonction Dlog/(z) admet comme pôles simples les points a et a, et qiie les résidus correspondants de cette fonction sont n et —p. Nous savons aussi que l'intégrale définie
^^jTi\0inz)dz,
relative au contour C de l'aire, est égale à la somme des résidus de la fonction Dlog/(js), relatifs aux pôles de cette fonction situés dans cette partie du jilan. On a donc
-'- r mo^f[z)dz-ln-lp.
Remarque, — L'intégrale définie que nous venons de considérer est égale à la variation de la fonction — : log/(s), quand la variable z décrit la courbe fermée C. Si l'on pose /{z) = r^'^ on a
I Lr ô
Iog/(z) -- Lr-+- Ôi, ---. \og/{z) =-- --. -t- — -. quand la variable z^
après avoir décrit la courbe G, revient au point de départ, le module r de la fonction /(2) reprend sa valeur primitive, et l'argument devient 6 -h nkn, k étant un certain nombre entier; l'intégrale définie est donc égale au nombre entier A, et l'on a 2/i— 2/> = A. Ainsi l'on peut énoncer le théorème précédent en disant que l'on obtient la somme des ordres d'une fonction /(2), méromorphe dans une partie du plan, en divisant par :2 7r la variation de l'argument de la fonction sur le contour de l'aire.
On arrive directement à ce résultat en remarquant que, d'après le théorème IV, la fonction /(js) peut se mettre sous la forme
la fonction 9 étant holomorpbe dans la partie du plan considérée, et ne s'annulant pas. D'après le raisonnement du n^ 21, la variation de l'argumen) de (f{z) sur la courbe G est nulle. Les variations des arguments des binômes [z ~ a)", . . . , (z — a)"^, . . . sont d'ailleurs respectivement égales à ^/itt, . . . , — ^pn^ — Donc la variation de l'argument de/(z) sur la courbe G est égale à a7r(2n — Ip).
Lorsqu'une fonction/(z) est holomorphe dans une partie du plan à contour simple, la variation de son argument sur la courbe G se réduit à 27:2/1, ce qui donne le nombre des racines situées dans cette partie du plan. -
Les deux théorèmes précédents, qui ont une grande importance dans la théorie des équations, sont d'us à Caucby.
