Appliquons cette méthode à l'équation

f{u) — M — Ç — zsinu :-- o,

que l'on rencontre en Astronomie, et dans laquelle z est un nombre réel et positif, Ç une quantité réelle comprise entre o et n. Gherchons le nombre des racines comprises dans le rectangle AA'B'B {/ig. 65) formé par des parallèles AB, A'B' à Taxe Oy, menées à des distances égales à mn et à (m + 1)71, m étant un nombre entier, et par des parai-

lèles AA', BB' à Taxe Oa?, à une distance très-grande h de part et d'autre. La variation de ]*argun)ent de /(a) sur le contour du rectangle est

égale à la somme de ses variations sur les quatre côtés. Sur les côtés kk\ B'B, on a

f{u): :^-Çrp6l^?i(<?":t*-e-":FA).

La distance b étant très-grande, on peut réduire cette expression à son terme principal

-- e^e" ou e'c ".

Sur le côté AA', ce croissant de mn à (w -î- i)7r, l'argument de /(m) éprouve une variation égale à -h::; sur le côté B'B, x décroissant de (m -4- 1)71 à mn, l'argument de /{u) éprouve encore une variation égale à 4- TT. La somme des variations de l'argument sur les deux côtés opposés A A', B'B est donc -h ^n. Sur le côté BA, on a

u —- nir, -\- yij

fin) .r r (-ir-3 , , ,n

m?:— Ç imr. — ^ 2(/n7r — S) ^ J

et, en désignant par 0 l'argument de - >

lang B ■-.. . - — - - - -^ '—-r (ef-e-f)'

niT: — Q 7.\nnz — Ç)

Lorsque^ varie de »- oo k — œ , l'argument Q varie de — ^ à -f- -» OU de -F - à — ^> et, par conséquent, éprouve une variation égale

à 4- TT OU à — TT, suivant que la quantité c ~ — —j est positive ou

négative.

Sur le côté A'B', comme j varie de — oo à h- oo , la variation de l'ar-

gument est égale à -h ;r ou à — tt, suivant que la quantité c'= . __

est négative ou positive. Mais, excepté lorsque m = o, le signe de c' est contraire a celui de c; la somme des variations de l'argument àej[u) sur les deux côtés opposés BA, A'B', est donc -h a;r ou — 27r, suivant que la quantité c est positive ou négative. Dans le premier cas, qui se présente lorsque m est un nombre positif pair, ou négatif impair, la variation de l'argument sur le contour du rectangle est t\Tty d*où l'on conclut que le rectangle comprend deux racines qui sont réelles ou imaginaires conjuguées; dans le second cas, qui se présente lorsque m est un nombre positif impair, ou négatif pair, la variation est nulle, d'où l'on conclut que le rectangle ne comprend aucune racine. Lorsque /n = o, les deux quantités c et c' ayant le même signe, les variations sur BA et A'B' sont égales et de signes contraires, de sorte que la variation sur le contour du rectangle est égale à + 2;r; on en conclut que ce premier rectangle contient une seule racine, qui est réelle.

124. Théorème VIII. — La fonction 6(2) na qu'une racine dans chaque parallélogramme (w, w').

Considérons le parallélogramme ABDC {/ig. 66), dont le sommet A est un point quelconque z^ du plan, les sommets B et C les points ^o + ^9 ^0+ ^^ La fonction 6(;::) étant holomorpbe, le nombre des racines contenues dans le parallélogramme est égal , d'après le tbéorëme pré-

cèdent, à l'intégrale définie

^. CD\oge{z)dz,

* relative au conteur du parallélogramme. La fonction 6(z) admettant la période w, ainsi que sa dérivée &{z), la fonction D log 6 (z) = qjA reprend la même valeur aux points homologues des côtés opposés BD»

CA; ces côtés, étant parcoiirus dans des sens contraires, donnent dans rintégrale des quantités égales et de signes contraires. D'autre part, si z désigne un point du côté ÂB, z + gj' sera le point homologue du côté opposé DC, et Ton aura pour ces deux côtés

— . f [Dlog0(z)-^Dlog0(a -+-&)')](/«.