AB
De la relation (n^' 73)
- — ( a 5 -H tu' )
on déduit
I) loge (z +&>').-.: '-- + l)log0(3),
et rintégrale précédente se réduit à
dz -- I
Ainsi tout parallélogramme, tel que ABDC, comprend une seule racine de la fonction 6| et cette racine est simple.
125. GoROLLAiBE. — Nous avoDS vu aussi (n° 73) que la fonction Q{z) s'annule pour toutes les valeurs représentées par la formule
dans laquelle m et rri sont des nombres entiers quelconques. Supposons que le plan soit divisé en un réseau de parallélogrammes égaux au précédent» et que le sommet  coïncide avec Torigine, la formule
donne un zéro z ^ - — — placé au centre du parallélogramme ABDC;
comme on ajoute ensuite des multiples de o) et (ù', elle en donne un placé au centre de chaque parallélogramme; puisque chaque parallélogramme ne comprend qu'un zéro» il s'ensuit que la formule représente tous les zéros.
La même conclusion s'applique aux. quatre fonctions 0 définies par les formules (5) du n^ 74; les formules (9) du même numéro représentent tous les zéros de ces fonctions. On connaît ainsi tous les zéros et tous les infinis des trois fonctions elliptiques X(z), |x(z)» v{z) (n° 76).
126. Théorème IX. — Lorsqu* une fonction est holomorphe dans toute rétendue du plan, et que son module reste moindre qu'une quantité déterminée^ cette fonction est constante.
Une fonction/(z)» holomorphe dans toute Tétendue du plan» estdéveloppable en une série entière
f(z)^U.~{-UtZ -hUiZ^ -h., y
et convergente» quelle que soit la variable z; les coefficients de la série sont donnés par la formule (n° 94)
Un— -
dans laquelle le rayon r est arbitraire. Si» sur la circonférence r» le module de la fonction /(z) reste moindre qu'une quantité déterminée M»
celui du coefficient u„ sera moindre que — ; comme on peut supposer le
rayon r aussi grand qu'on veut, on en conclut que le module de tt;,est nul. Ainsi tous les coeflicients de la série, à partir du second» sont nuls, et par conséquent la fonction est égale à une constante u^.
Ce théorème fondamental est dû à M. Liouville. On en conclut f^une fonction^ holomorphe sur toute la sphère, est constante. Il en résulte que, lorsqu'une fonction n'est pas constante, elle doit avoir sur la sphère un ou plusieurs points singuliers où elle cesse d'être holomorphe. Ainsi la fonction e^ est holomorphe sur toute la sphère» excepté au point OS qui est un point d'indétermination (n^ 59).
127. Thiéorème X. — Lorsque deux fonctions^ méromorphes dans toute V étendue du plan^ admettent les mimes zéros et les mêmes infinis, chacun au même degrés leur rapport est une fonction holomorphe dans toute l'étendue du plan; si, de plus, le module du rapport reste moindre qu'une quantité déterminée, le rapport est constant.
Soient/(jz] et F(z) les deux fonctions proposées. Si a est un zéro commun, du degré n, on a, d'après le théorème V,
f(z) = [z^aYfAz), F(2)^(z-a)-F.(3),
les fonctions /«(z) et F, (2) étant holomorphes dans le voisinage du point a, et ne s'annulant pas en ce point; on en conclut que le rapport
reste holomorphe dans le voisinage du point a. Si a est un pôle ou un infini commun, du degré n, on a, d'après le même théorème,
•'^ ' (z — aY (- — «r
les fonctions/, (z) et ^^[z) étant holomorphes dans le voisinage du point a, et ne s'annulant pas en ce point; on en conclut encore que le rapport
reste holomorphe dans le voisinage du point a. Le rapport --.^^ est donc
une fonction holomorphe dans toute l'étendue du plan.
Si le module de ce rapport reste moindre qu'une quantité déterminée, il résulte du théorème précédent que ce rapport est constant.
128. Théorème XI. — Toute fonction, holomorphe sur toute la sphère, eaxepté au point 0\ qu^elle admet comme pôle, est une fonction entière.
Si Ton pose z — ,» la fonction proposée /(s) devient une fonction de z\ que nous désignerons par <p(z'). Cette fonction
est holomorphe par rapport à la nouvelle variable z\ evcepté pour z' = o. Dire que sur la sphère le point 0' est pôle de la fonction/(z), c'est dire que, dans le plan des z\ le point z' = o est pôle de la fonction (f{z'). D'après le théorème IV, il existe un nombre n, entier et fini, tel que le produit ^{z') = z"^(p{z') reste holomorphe dans le voisinage du point 0', et par conséquent dans un cercle décrit du point 0' comme centre, avec un certain rayon r, sur le plan des z'; cette fonction est développable en une série entière, convergente dans ce cercle, et Ton a
(i) ^(z')-:K-^-KtZ' ^\,z'' h .-+- A..-,z'"- -^s'"P,
en posant
(a) P~ A„ -4- A.,+,z' i-\„^iZ"-h
De l'équation (i) on déduit
P. .. A« A| Afi i
T\ y ^iH r"-' z
ou
(3) Pr=/(3) — A.S- — A.z--' — . . . — A„-,z.
206 UVRE lY. - CHAPITRE I.
Au cercle r décrit du point 0' comme centre sur le plan des z' correspond sur la sphère un cercle R» qui divise la surface de la sphère en deux zones, contenant, Tune le point 0, Tautre le point 0"; d'après l'équation (3), la quantité P est holomorphe dans la première zone; comme elle est représentée par la série (2) dans la seconde zone» elle est aussi holomorphe dans cette seconde zone; la quantité P est donc holomorphe sur toute la sphère, et par conséquent, en vertu du théorème IX, c'est une constante A„. On déduit de là, d'après l'équation (3),
Ainsi la fonction proposée est une> fonction entière d'un degré égal au degré du pôle 0'.
129. Théorème XII. — Toute fonction ^ méromorphe sur toute la sphère^ est une fraction rationnelle.
Supposons d'abord que le point 0' soit un point ordinaire de la
fonction /(«); si Ton pose 2 = A' cela signifie que la fonction/[^j
est holomorphe dans un cercle décrit du point 0' comme centre, avec un certain rayon r, sur le plan des 2'; à ce cercle correspond sur la sphère un cercle R, qui divise la sphère en deux zones, comprenant. Tune le point 0, Vautre le point 0'; tous les pôles de la fonction /(») étant situés sur la première zone, c'est-à-dire dans le cercle décrit du
point 0 comme centre avec un rayon égal a - sur le plan des z, d'après
le théorème lY, leur nombre est limité. Si le point 0' est un pôle, on peut, du point 0' comme centre, avec un certain rayon r, décrire sur le plan des z' un cercle qui ne comprenne aucun pôle de la fonction
f\^) autre que le point 0'; tous les pôles de la fonction /(z) autres
que le point 0' sont donc situés dans le cercle décrit du point 0 comme
centre avec le rayon - sur le plan des z, et par conséquent leur nombre
est encore limité. Ainsi, dans tous les cas, une fonction méromorphe sur toute la sphère n'admet qu'un nombre limité de pôles.
Cela posé, désignons par a, |3, . . . les pôles de la fonction/(2) autres
que le point 0\ par n, /i, ... leurs degrés; ou peut, d'après le théorème V, déterminer des sommes de fractions simples, telles que la différence
soit holomorphe sur la première zone. Si la fonction proposée/ (z) est holomorphe en 0', la fonction (p{z) sera holomorphe sur toute la sphère, et par conséquent ce sera une constante (n^ 126). Si le point 0' est pôle de /{z), ce sera un pôle du même degré de <p{z); cette dernière fonction, étant holomorphe sur toute la sphère, excepté au point 0', qu'elle admet comme pôle, est une fonction entière d'un degré égal à celui du pôle 0' (n° 128). Il résulte de là que la fonction/(z) est le quotient de deux fonctions entières, telles que l'excès du degré du dénominateur sur celui du numérateur est égal à l'ordre de la fonction /(s) au point 0'.
Il est évident que la somme des ordres d'une fraction rationnelle sur toute la sphère est nulle.
Fonctions polytropes.
130. Les fonctions algébriques, que nous avons étudiées dans le Chapitre II du Livre I, constituent une première classe de fonctions polytropes; elles ont un nombre fini de valeurs pour chaque valeur de la variable, et n'admettent sur toute la sphère que deux sortes de points singuliers, savoir des pôles et des points critiques algébriques.
Une équation/(j3, u) = o, dont le premier membre est, non plus un polynôme entier en z et i/, mais une fonction holomorphe des deux variables z et i/, dans le voisinage des valeurs a et 6, définit une fonction implicite i^ de z qui jouit de quelques-unes des propriétés des fonctions algébriques. Nous remarquons d'abord que la racine b est d'un degré entier et fini de multiplicité, puisque/(z, i/), où l'on regarde z comme une constante a, est une fonction holomorphe de u dans le
voisinage de la valeur 6 (n^ 115). Le théorème sur la coutinuité des racines subsiste : si pour z = a Téquation a n racines égales à b^ pour une valeur de z voisine de a elle a n racines voisines de 6, et ces n racines forment un ou plusieurs systèmes circulaires; car on peut répéter ici les raisonnements que nous avons faits aux n^*28 et 32. Soient u^^ u^^" - , Up les p racines d'un système circulaire; quand la variable z tourne autour du point a, une branche de la fonction u acquiert successivement les/? valeurs u,, ^^ff <^/»; après/? tours» elle reprend sa valeur primitive u^. Si Ton pose z = a^- z\ z' = s"', quand z" décrit une petite circonférence autour du point s" = o, z' décrit p circonférences autour du point z' = o» et par conséquent u reprend sa valeur primitive; on en conclut que u est une fonction holomorphe de z'' dans le voisinage du point z" = o^ et par conséquent est développable en une série entière par rapport à la variable z'\
a — ft-- Az'ï + Bz'f
Lcs/? valeurs du système circulaire sont représentées par la même série
En particulier» si /? ^ i » la branche de la fonction u est holomorphe dans le voisinage du point a.
Supposons que le premier membre de Téquation proposée/(j8, a) = o soit une fonction holomorphe des deux variables z eiu pour toutes les valeurs finies de chacune d'elles. On obtient les valeurs finies de z pour lesquelles Téquation admet des racines égales en cherchant les valeurs de z et de a qui satisfont aux deux équations simultanées
7(2, W lin^ O. ^ : O,
Lorsque, dans le voisinage d'une de ces valeurs de z^ une racine n'est pas holomorphe, elle appartient à un système de racines qui se permutent autour de ce point, et il peut arriver qu'à un même point critique correspondent une infinité de systèmes circulaires de racines. L'analogie avec les fonctions algébriques cesse d'exister lorsqu'à
une valeur finie de z correspond une valeur infinie de u\ car» si l'on pose Uz= -^i Téquation ne se transforme pas en général en une équation entre z. et u' ayant son premier membre holomorphe pour les valeurs de u' voisines de zéro. Ces valeurs de z sont, en général, non des pôles ou des points critiques algébriques, mais des points singuliers transcendants. L'analogie n'existe pas non plus pour les valeurs infinies
de z; car, si l'on pose z=r -jj l'équation ne se transforme pas en général en une équation entre z' et u, ou entre z' et u\ ayant son premier membre holomorphe pour les valeurs de z' voisines de zéro; de sorte que sur la sphère le point 0' est un point singulier transcendant.
Considérons, par exemple, l'équation sinu — z= o, dont le premier membre est une fonction holomorphe de 2 et de u pour toutes les valeurs finies de ces variables, et qui définit la fonction u = arcsinz, que nous avons étudiée au n^ 62. Les deux équations simultanées
sinu — z = o, rr- = cosu = o
sont satisfaites par les valeurs
tt — ( 2 m -4- I ) - > z ={ — I y* r? - dz I ,
m étant un nombre entier quelconque. Â chacune des valeurs z = + 1 correspopdent une infinité de groupes de deux racines égales; on a ainsi deux points critiques z =±i^ autour desquels se permutent les deux racines d'un même groupe. Si l'on pose, en efiet,
l'équation devient
z' -+- cosa'— 1=^0,
et, en développant en série.
ÎIO UVRB IV. - CHAPTTRB I.
à une valeur infiniment petite de z! correspondent deux valeurs infini-
ment petites de ii\ dont les valeurs approchées sont 11"= yf^z'''.
La fonction u ne devient infinie pour aucune valeur finie de z\ mais elle devient infinie quand z augmente indéfiniment. Si Ton pose
l'équation devient
z'sin -7 — I :: o; u
le premier membre est indéterminé pour u' — o.
