Revenons à Téquation (i) fi^f^} "« — Ç -^ « sini« = o
dans laquelle Ç est une quantité réelle. Nous avons vu (n^ 123) que» lorsque z est réelle » Téquation admet une infinité de racines; Tune d'elles se réduit à u = Ç pour z = o; on peut la développer en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de z, d'après la formule de Lagrange (n^ 97). Pour déterminer le rayon du cercle de convergence» il faut regarder z comme une variable imaginaire et u comme une fonction de z ayant la valeur initiale u = Ç pour jz = o. On obtient les points critiques en joignant à l'équation précédente l'équation
(2) -f- ^l — ZC0SH = O,
d'où l'on déduit
(3) M — Ç — iangM = o.
On reconnaît immédiatement que cette dernière équation admet une
solution réelle comprise entre mn et mn -h -» m étant un nombre
entier quelconque positif ou négatif, et» par conséquent, qu'elle a une infinité de solutions réelles; la méthode dont nous avons fait usage au n^l23 indique» en outre» qu'elle a deux racines imaginaires conjuguées» dont la partie réelle est comprise entre les mêmes multiples consécutifs
Ainsi les deux points critiques fournis par les racines imaginaires de Téquation (3) sont compris» quelle que soitÇ» entre deux circonférences décrites de Torigine comme centre avec les rayons 6 et i; il est évident d'ailleurs que les points critiques fournis par les racines réelles sont extérieurs à cette dernière circonférence. On en conclut que* quelle que soit la valeur réelle attribuée à Ç, la série de Lagrange est convergente dans le cercle de rayon b.
Quand on attribue a Ç la valeur -9 les équations (4) et (5) admettent
0ÊÊm
la solution 07 = -9 j = jf, à laquelle correspond le point critique z z^ bi. Pour voir quelles soot les racines qui se permutent autour de ce point critique» posons z = z'i et m = - -+- J'*; l'équation (i) devient
la nouvelle fonction y ayant la valeur initiale y='0 pour z = o. L'équation différentielle
^^, »-rlanghr^ cosh/ '^
montre que, quand y est réelle et croit de o à ji , z' est aussi réelle et croit de o à 6; on en conclut que, réciproquement, quand z' croit de o à 6, y est réelle et croit de o à y, . La racine considérée se permute donc avec une autre autour du point critique z = bi^ et, par conséquent, pour
s = -> le cercle de rayon b est bien le cercle de convergence. Il est
clair que, si Ç a une valeur différente d'un multiple impair de -> le rayon du cercle de convergence est plus grand que b.
132. Théorème XIIL — Lorsque^ dans une partie déterminée A du plan^ une fonction u de z n'a pas de points singuliers autres que des pôles et des points critiques algébriques, et admet un nombre fini m de valeurs en chaque points toute fonction entière symétrique de ces m valeurs est une fonction méromorphe de z dans cette partie du plan.
Pour définir la fonction, on fait partir la variable z d'un point fixe jzo» la fonction ayant une valeur initiale i^o déterminée. Nous admettrons, comme nous Tavons fait jusqu'à présent, que, excepté en certains points singuliers, la fonction est continue et a une dérivée, et, par conséquent, que, tant que la variable se meut dans une partie de Taire A ne comprenant aucun point singulier, la fonction est holomorphe.
Supposons qu'il existe, dans la partie A du plan, un point critique algébrique a relativement à la branche de la fonction que l'on obtient en allant du point jZq ^ un point voisin de a par un chemin déterminé, c'est-à-dire un point a tel que, si la variable tourne ensuite autour de ce point, la branche de la fonction acquière, en chaque point voisin, un nombre limité/^ de valeurs finies, peu diflerentes les unes des autres, et devenant toutes égales à une même quantité 6, quand le point z se rapproche de a. Posons
la branche considérée de la fonction se reproduisant quand z* fait p tours et, par conséquent, quand z" reprend la même valeur, est u^e fonction holomorphe de z"" pour les valeurs de z^ voisines de zéro ; elle est donc développable en une série entière
et les p valeurs de la branche considérée de la fonction sont représentées par la même série
Si l'on fait la somme des puissances semblables de ces p valeurs, les termes a exposants fractionnaires disparaissent, et il ne reste que des termes à exposants entiers; cette somme est donc une fonction holomorphe de z dans le voisinage du point a. Les mêmes choses se passent dans le voisinage de chacun des points critiques algébriques autour desquels se permutent des valeurs finies de la fonction. Supposons maintenant qu'il existe un point critique a, tel qu'une
214 LIVRE IV. - CUAPITRB I.
branche de la fonction acquièret quand la variable tourne autour de ce
point, p valeurs très-grandes, et qui deviennent infimes au pointa.
Posons
la branche correspondante de la fonction u! acquerra, dans le voisinage de ce point, p valeurs voisines de zéro ; et, d'après ce que nous avons dit, ces p valeurs seront représentées par une même série convei^ente
il en résulte que les /i valeurs de u seront représentées par une série de la forme
La somme des puissances semblables de ces p valeurs ne contient encore que des exposants entiers; mais il peut y avoir au commencement de la série des termes a exposants négatifs; dans ce cas, le point a est un pôle de la somme, qui est alors une fonction méromorphe de % dans le voisinage de ce point.
Nous avons supposé en outre que la fonction u n'a qu'un nombre fini m de valeurs U|, u,,..., u^ en chaque point; il résulte de ce qui précède que la somme des puissances semblables de ces m valeurs est une fonction méromorphe de z dans Taire A. On en conclut que toute fonction symétrique entière de ces m valeurs est une fonction méromorphe de z dans cette étendue.
133. C0ROLLA.1RE I. — Désignons par f, {z) la somme des m valeurs Ui, ttt»--*t <^m de la fonction en chaque point, par 92 (^) Ist somme des produits des m valeurs deux à deux, et enfin par ff^ {z) le produit de ces m valeurs; ces fonctions symétriques sont des fonctions méromorphes de z dans l'aire A, et la fonction a de js est racine de l'équation
Lorsque l'aire A est finie, les fonctions méromorphes Çi (2), ^ , (2), . .
peuvent être mises sous la forme
^o{z) étant un polynôme entier, et ij/f (z), ^2 (^)* ... des fonctions holomorphes dans Taire A (n^ 118), et l'équation devient
F(2, U) — ^j^. (Z) M- ~ ^^ (Z) M"-' -f- Vp, (z)"-^ . ±1 ^^(Z) = O.
Son premier membre est une fonction entière de u et holomorphe de z dans Taire A.
Les points où des racines deviennent infinies vérifient Téquation entière ^^ (z) = o. Les points où des racines finies deviennent égales sont donnés par les deux équations simultanées
(z,ii).-o, — =0;
Télimination de u conduit à une équation ^{z) = o^ dont le premier membre est une fonction holomorphe de z dans Taire A. On en conclut que le nombre des pôles et des points critiques situés dans Paire finie A est limité.
134. Corollaire IL — Nous appellerons, d'une manière générale, ordre de la fonction u en chaque point z Tordre de la fonction
la fonction fm{z) étant méromorphe dans Taire A, cet ordre est entier. En tout point où aucune des m valeurs de u ne devient nulle ou infinie. Tordre est nul. Supposons qu'en un point critique a les p valeurs ii,, U2f...f Upf qui composent un système circulaire, deviennent nulles, ces p valeurs seront représentées par une même série
(a + Bz'/'-i-. ..),
et leur produit par une série entière
a, «2. , .Up— z'^{kx H- B, «'-+-.. .);
le point a est un zéro du degré ^ pour chacune des/? valeurs du système
circulaire et du degré entier q pour leur produit. De même, si les/i valeurs d'un système circulaire deviennent infinies au point a, cesp valeurs seront représentées par la série
u -z' ''(A H-Bz^'-f- ..),
et leur produit parja série
Ux //î. . . Up ■= z'""7( A, -f- B.V -f- . . .);
le point a est un infini du degré - pour chacune des/» valeurs du
système circulaire et du degré entier q pour leur produit. L*ordre du produit est, dans le premier cas, + q\ dans le second cas, — q.
Supposons que, sur la courbe G qui enveloppe Taire A, chacune des m valeurs de la fonction u soit continue et difierente de zéro ; la fonction fm(^) sera elle-même continue et différente de zéro. Nous savons, d*après le théorème YII, que la somme des ordres de la fonction méromorphe (f,n[^) dans Taire A est égale à la variation qu'éprouve la
fonction — : logç^C^) sur le contour G de Taire, décrit dans le sens positif. On en conclut que la somme des ordres de la fonction u dans Taire A est égale à la variation qu'éprouve sur ce contour la fonction — :log(ii| i/j. . .i^,„), ou la somme des fonctions
-. lOgW, -4- --, logM, H -f -U lOg U^y
HTZl ^ ÎTTI 27rl
qui se rapportent aux m branches de la fonction u.
135. Théorème XIV. — Toute fonction qui, sur toute la sphère, ri a pas de points singuliers autres que des pôles et des points critiques cUgi" briques, et qui n'admet qu'un nombre fini m de valeurs en chaque point, est une fonction algébrique.
En vertu du raisonnement précédent, toute fonction entière et symé-
trique des m valeurs de la fonction u est une fonction méromorphe de z,
pour toutes les valeurs finies de z. Faisons maintenant z = -;\ puisqu'on
suppose que le point z' = o est un point ordinaire, ou un pôle, ou un point critique algébrique, d*aprës le même raisonnement, la fonction 'symétrique est aussi méromorphe dans le voisinage de ce point. Cette fonction symétrique, étant ainsi méromorphe sur toute la sphère, est une fraction rationnelle (n^ 129). Il en résulte que les fonctions f i (z), <P2(^)*- •• ?m(^) sont des fractions rationnelles que Ton peut mettre sous la forme
^ yi^.(Z) ^ ^,{z)
+«(^)» '^\[^)* ^2(^)' •• étant des polynômes entiers; par conséquent, la fonction proposée a de :s satisfait à une équation
dont le premier membre est un polynôme entier en z et en u, et du degré m par rapport à u.
Ce dernier théorème comprend, comme cas particuliers, les théorèmes XI et Xn, qui servent à rétablir; ils nous seront très-utiles dans la suite. Nous les avons publiés pour la première fois, sous une forme un peu différente, dans le Journal de V École Polytechnique de i856.
CoRor.LA.iRE I. — Une fonction u de z^ définie par une équation dont le premier membre est un polynôme entier en z et a, du degré m par rapport à a, et irréductible, admet m valeurs en chaque point.
Car, si elle en admettait un nombre moindre, elle satisferait à une équation algébrique d'un degré inférieur à m par rapport ^ u, et l'équation proposée ne serait pas irréductible.
Corollaire II. — La somme des ordres d' une fonction algébrique sur toute la sphère est nulle.
Cela résulte de ce .que la somme des ordres d'une fraction rationnelle fmi^) sur toute la sphère est nulle (n^ 129). On peut encore s'en rendre compte de la manière suivante. Concevons que l'on divise la surface de la sphère en deux parties par un cercle C dont le plan soit
«18 UVRE IV. - CHAnniE I.
perpendiculaire au diamètre 00\ et qui ne passe par aucuB point cri* tiqu^; la somme des ordres de la fonction u dez dans Tupe ou Tautre
zone est égale à la variation de la fonction — 'log(U|ii,...iifl|} sur le
cercle G» décrit dans le sens positif par rapport à cette zone» c*estrà-dire dans un sens tel, qu'un observateur ait a sa gauche Taira de la zone; le sens du mouvement sur le cercle G étant différent pour les deux sraes» les variations sont égales et de signes contraires» et» par eonaéquent» la somme des ordres de la fonction algébrique sur la sphère entière est nulle.
Soit /{z, u)=o l'équation proposée du degré m en u et du degré m' en z. La somme des ordres de la fonction ii de z sur toute la sphère étant nulle» la somme des ordres positifs est égale à la valeur absolue de celle des ordres négatifs. Si» dans Téquation» on remplace u par u, + u'» i^o étant une constante arbitraire, comme la somme des ordres négatifs est la même pour les deux fonctions u et u'» celle des ordres positifs reste aussi la même et» par conséquent» est indépendante de la constante n«. Supposons que la constante u^ n'appartienne à aucun des
systèmes de valeurs de u et z» ou de ii et -? qui satisfont aux deux
équations simultanées /(z» ci) = o» ^= o» et que» en outre» le coefiB-
cient de, z'^ dans Téquation proposée ne s'annule pas pour u a i^. Pour évaluer la somme des ordres positifs de la fonction u' de z» il faut considérer les points z racines de l'équation /(z» u^) = o du degré m'; en chacun de ces points» l'ordre de la fonction u' de z est égal au degré même du point racine» de sorte que la somme des ordres positifs de la fonction u' est égale a m\ Ainsi la valeur absolue de la somme des ordres négatifs de la fonction u de z» définie par une équation algébrique irréductible» est égale au degré de l'équation par rapport à z.
136. GoROLLAiRE III. — Daus le chapitre IV du Livre III» nous avons étudié l'intégrale
= i udz,
Il et S étant liées par une équation entière/(z» u) z= o, du degré m en u.
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES mS FONCTIONS. 219
GberchoDB dans quel cas Y est elle-même fonction algébrique de z. II est nécessaire d'abord que la fonction Y n'admette^ sur toute la sphëre, que des points singuliers algébriques; ceci exige que, dans le développement de chaque système de valeurs infinies de u pour une valeur finie de z^ ou de chaque système de valeurs infinies de <^ ^ uz^ pour z = co ou js'=: o, le coefficient H du terme qui, dans Tintégrale, engendre un logarithme, soit nul. Il faut ensuite qu'il n'y ait pas de cycles, ou, s'il y en a, que les intégrales relatives à ces cycles soient nulles. Quand ces conditions sont remplies, la fonction Y, n'ayant sur toute la sphère que des points singuliers algébriques, et n'admettant qu'un nombre fini m de valeurs en chaque point, est une fonction algébrique de z, et l'équation entre z et Y, mise sous forme entière, est du degré m par rapport à Y. D'après une remarque faite dans le numéro précédent, le degré de l'équation par rapport à z est égal à la valeur absolue de la somme des ordres négatifs de la fonction Y. Prenons, comme exemple, l'équation
que nous avons étudiée au n^40. Dans le plan, il n'y a pas d'autres points singuliers que les deux points critiques z = =biy autour de chacun desquels se permutent deux racines. Les deux lacets binaires (a)o, (6)2, relatifs à ces points, constituent un système de lacets fondamentaux; comme il n'y a pas d'autres lacets dans le plan, il n'y a pas de cycle, et, par conséquent, pas de période. On m conclut que l'intégrale
V= f udz
Jo
est une fonction algébrique de z.
L'équation transformée
a ses trois racines infinies et du degré | pour z' = o; mais comme il ne doit pas y avoir de période polaire, il est certain que, dans le développement de Vf le coefficient H sera nuU ce qu'il est facile de vérifier
220 LIVR£ lY. - CHAPITRE 1.
directement; le point 0' est donc un point critique algébrique par rapport à la fonction V qui acquiert autour de ce point trois valeurs infinies du degré | se permutant circulairement; la somme des ordres négatife de la fonction V étant égale à — 4* Téquation entre Y et js, qui est du troisième degré en Y, est du quatrième degré en z. Par un changement de variable» on a immédiatement
y =:z UZ — I ZdU :^ UZ 7- -+- -jr
L'élimination de u donne Téquation cherchée
64V'-m44V»- 27(8-8» — 3)Y-h272»(2«» — i) = o. Prenons, comme second exemple, l'équation
a»— 3zi«-h ^* =r o,
dont nous nous sommes occupés au n^ 45. Dans le plan» il y a quatre points critiques a» b^ c, 0, auxquels correspondent quatre lacets binaires (a)J, (é)2. (c)J, (0)î ; si l'on forme avec les deux premiers un système de lacets fondamentaux, les deux autres donneront deux cycles simples et, par conséquent, deux périodes
0), =aj-i-cî, û)j=:al -+-0? -+- 6;.
L'équation transformée
a ses trois racines infinies et du troisième degré pour z' = o; si Ton pose {^-^ wz'"^^ l'équation devient
w^ -\ i- Zwz' '— o.
Les trois racines de cette dernière équation sont holomorphes dans le voisinage du point z* = o, et représentées par la série
2t2 UVRK IV. - CHAPITRE U.
