CHAPITRE IL

PROPRlliTÉS DES FONCTIOlffS X ET Y.

137. Soit u=f[z) une foDctioû bolomorphe de la variable imagi* naire z = X'\-yi dans une certaine étendue du plan; si l*on pose

Il :-^XH-Y|,

on obtient deux fonctions réelles X et Y des deux vàriablêB réelles et indépendantes x et y; ces deux fonctions jouissent de propriétée par» ticuliëres dont nous avons dit quelques mots au commenceiBettt éa cet Ouvrage. La fonction proposée ayant une dérivée» nous avone vu que

„, , JX , .SY ./^X .JY\

et nous en avons conclu que les deux fonctions X et Y admettent des dérivées partielles satisfaisant aux deux relations

^ ' 'bx by by ~ "bx

Nous savons que la fonction /'(js) est bolomorphe dans la même étendue que la fonction proposée; il en résulte que les fonctions — >

xV NV ^Y

— > r— > — admettent elles-mêmes des dérivées partielles» et, par conséquent, que les deux fonctions X et Y admettent des dérivées partielles

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS. t«3

du deuxième opdre. Comme on a

ces dérivées partielles satisfont aux quatre relations

La fonction f"{z) étant aussi holomorphe, les dérivées partielles du deuxième ordre admettent des dérivées partielles du premier ordre, et» par conséquent, les deux fonctions X et Y admettent des dérivées partielles du troisième ordre, et ainsi de suite indéfiniment.

On a» d*une manière générale,

On en déduit les an relations linéaires et homogènes

^^ • ô-Y___^OÇ__ J'Y >'\ D"Y

ix* Dx*~'3^ 3j;*~'Dj'-' <)j;"~»J/' Ja;*~' iy* ~

entre les an dérivées partielles de Tordre n des deux fonctions X et Y, relations qui permettent d'exprimer ces an dérivées au moyen de deux

d'entre elles, par exemple de ^ et de ^^;^^•

138. Considérons les deux courbes représentées par les équations X = o^ Y = o. Soit Zq une valeur de z qui annule la fonction /(js).

Nous avons démontré que cette racine est d*un degré fini et entier n de multiplicité; elle annule la fonction /(z) et ses n — i premières dérivées, mais pas la suivante; d'après les relations (2), toutes les dérivées partielles des fonctions X et Y seront nulles jusqu'à Tordre n — i inclusivement. On en conclut qu'un point racine d'ordre n de la fonction bolomorphe/(z) est un point multiple d'ordre n de chacune des courbes X = o, Y = o.

Réciproquement» si un point commun aux deux courbes X = o, Y = o est multiple d'ordre n de Tune d'elles, il est multiple du même ordre dans l'autre; car si toutes les dérivées partielles de Tune des fonctions X et Y sont nulles jusqu'à l'ordre n — i inclusiveroentt en vertu des relations (2), celles de l'autre sont aussi nulles jusqu'au même ordre. Ce point multiple, commun aux deux courbes, est une racine de degré n de la fonction /(jz).

Cherchons maintenant les tangentes en ce point multiple. La fonction /{z) est développable en une série

ordonnée suivant les puissances entières de js — z^, et convergente dans un cercle ayant le point Zo pour centre. Si l'on pose

z— z, :pe*',

cette série devient

t •9.. . , n i.2...^ii-{-i)

on en déduit

^ p- /^"X. . yY. . A

X — — ^ ( -^riïï-^os'iO - ^— rsin/i0)-4-.. . ,

Les tangentes au point multiple commun aux deux courbes X === o,

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS. f&

Y = o sont données par les équations

langue = ^-^, langne'm — ^ = langf/ieH- -j,

d'où l'on déduit

k étant un nombre entier quelconque. Chacune de ces équations admettant n racines simples, on en conclut que chacune des courbes X = o,

Y = o comprend n branches réelles passant au point commun; les tangentes aux n branches d'une même courbe forment une rose des vents, et les rayons de Tune sont les bissectrices des angles de l'autre.

Ce que nous avons dit s'applique évidemment aux deux courbes X = a, X = é; il suffit de substituer à la fonction/(z) la fonction/(z)— a— W. Si l'on remplace /(z) par/(js) (n-«), et si l'on pose