X.-4-Y.lrrr(X-f-Yl)(l-+-l
d'où
on i)btient deux nouvelles courbes X| = o, Y| = o, qui jouissent des mêmes propriétés que les précédentes ; le point z^ est aussi un point multiple de chacune d'elles et de l'ordre n. Les tangentes à la première sont données par l'équation
les roses des vents relatives à ces deux courbes coïncident avec les bissectrices des angles des deux premières réunies.
139. Le module R et l'argument 9 de la fonction /(z) peuvent être
SSe LIVRE IV. - GHAPURB H.
regardés aussi comme des fonctions réelles des deux variables indépendantes œ et y. Comme on a
logR-h9i = log/(^),
et que log /{z) est une fonction holomorphe de z dans toute portion de Taire ne comprenant aucune racine de/(2)t les deux fonctions logR et (p jouissent des mêmes propriétés que les fonctions X et Y. On a donc les relations
^ lo^ î^ __ ^9 ^^ogR ^9 ^x ^x ^jr d^'
d'où
^MogR yiogR D»9 ^9 __
et| d*une manière générale»
D'IogR D*9 __ ^MogR ^*9 €)*logR
^x" "^ ^x*^'dx "" "bx^^-^dy^ "^ bx^-^by* bx'^by* — . . ,
^"9 <)*logR __ D'y ___ ^"logR __ ^"9 ' __
^j?** "" <)j7"~*<)y* <)j7*—*()y' D^"'*i)y"* dx^'^fiY* • • • •
Les courbes R=a ou logR = Ioga et (p = b jouissent des mêmes propriétés que les courbes X = a, Y = b; un point multiple d'ordre n de Tune d'elles appartient à l'autre au même ordre; chaque courbe comprend n branches réelles passant en ce point, et tangentes aux rayons d'une rose des vents; en outre, les tangentes à l'une des courbes sont les bissectrices des angles formés par les tangentes à l'autre. Il en résulte que les tangentes en un point commun simple sont rectangulaires. Ainsi les courbes d'égal module et celles d'égal argument se coupent orthogonalement.
140. Considérons en particulier une fonction entière du degré m
si l'on pose on a
d'où
X=:6f,r*cos(m0-i-a,) -+■ 6fir*-'cos[(m — 1)6 H- ai]-+-. . , Y = a,r"sin(mflH-a«) -ha,r"-'sin [(m — i)0-h «•] -t-. . •;
les polynômes X et Y sont ordonnés ainsi par rapport aux puissances décroissantes de x et y. En égalant à zéro les termes du degré m, on obtient les directions des asymptotes; ces directions sont données par les équations
cos(m0 4-a.) = o, sin(m0'-i-a,)r=: o,
d'où
mm 2/n
Les racines de ces équations étant simples, on en conclut que chacune des courbes X = o, Y = o admet m asymptotes à chacune desquelles correspondent deux branches réelles; les parallèles menées par un point arbitraire du plan aux asymptotes d'une même courbe forment une rose des vents» et les rayons de l'une sont bissectrices des angles de l'autre.
En transportant l'origine au point Zo = ^9 on fait disparaître
du polynôme /{z) le terme du degré m — i; les polynômes X et Y ne contenant plus alors de termes du degré m — i^ les asymptotes passent par la nouvelle origine. On conclut de là que les asymptotes aux deux courbes X = o, Y = o passent par le même point z^ où elles forment deux roses des vents bissectrices l'une de l'autre.
141. Nous avons remarqué (n^ 87) que» lorsqu'une fonction est holomorphe dans une partie du plan» à contour simple, la connaissance des valeurs de la fonction» sur le contour ou sur une courbe intérieure infiniment voisine» détermine complètement la fonction dans cette partie du plan. On reconnaît sans peine» ainsi que l'a observé Lejeune- Diricblet» qu'une fonction» holomorphe dans un cercle» est déterminée complètement lorsqu'on connaît les valeurs de Tune des fonctions X et Y sur la circonférence, et la valeur de IHiuIre en un point intérieur. En effet» toute fonction /(z)» holomorphe dans un cercle dont l'origine
tt8 UVRE IV. - CUAPHRB H.
est le centre, est développable en une série entière
(i) /(«) = («,-4-6.0 -^(«i-+ *iO'-+-(^-+-*>')^'-+----»
convergente dans ce cercle. Si Ton pose z = re^\ r étant plus petit que le rayon R du cercle, on a
(a) X = atH- (aiCOsO — 6iSinO)r-^ (osCOsaO — 6sSin2d)r'-h. . .,
(3) Y — 6, -i- (a, sinfl H- 6iC0se)r-f- (a^sinaS +6,cos26)r»4-
Supposons que, sur la circonférence R, la fonction réelle X soit égale à une fonction réelle donnée ^(d)» qui reste finie, quand Tangle 6 varie de o à stc, mais qui peut être discontinue en certains points- Cette fonction (p{0) est développable en une série trigonométrique
(4) 9(0) = «,4- («icosen- p.sinS) -J-CasCOsaS-t-PaSinaS)-}-...,
dont les coefficients sont donnés par les intégrales
a.= — I (flO)de, ««=- / <p(fl)cosmflrfe, P«=- 1 <p(9)sinmfii/fi,
et ont des valeurs finies et déterminées. Pour que la fonction X sur la circonférence R soit égale à la fonction 9 (d), il faut que l'on ait
(5) «.= «•, ^'^"r' '"^""Ift' ^*~R»' ^»~ — g;»"' et la fonction cherchée sera représentée par la série
(6) /(2) ^ (a. -*- *.0 -H (a. - PiO î[ -^- («a - P,0 R, -+-••• >
qui est convergente dans le cercle R. Cette série renferme encore une constante arbitraire 60; on la déterminera en donnant la valeur de la fonction Y en un point intérieur. Les fonctions X et Y sont alors connues dans tout le cercle; mais il est possible que la fonction Y n'ait pas une valeur finie en tous les points de la circonférence •
Supposons, par exemple, que, sur la circooférence de rayon un, la fonction X ait la valeur j» quand 0 varie de o à tt, et la valeur — jy quand Q varie de tt à nn^ et que, pour z = o, Y soit nulle; on aura
9(8) = sine -f- ^ sinSe -f^ g sinSô
et, par suite,
Sur la circonférence, la fonction Y est infinie pour 6 = o et 6 = tt. Considérons l'intégrale définie
= h-5-...Hp — ±: I — ; — dz,
1 2 3 ^^ n Jq i-^ z *
qui est égale à la fonction log(i + z) s'annulant pour z = o. Si Ton astreint la variable z à rester dans le cercle de rayon un, et si Ton intègre suivant un rayon aboutissant à un point de la circonférence différent du point z = — i, le dernier terme tend vers zéro, quand n augmente indéfiniment. On en conclut que la série
est encore convergente sur la circonférence , excepté pour z := — i , et a pour somme log (i + z).
On verra de même que la série
est convergente sur la circonférence, excepté au point z = i , et a pour somme log(i ~ 2), ce qui justifie la remarque faite au n^ 50. Il en
f30 LIVRE IV. - CHAPITRE U.
résulte que la série ( 7 ) est convergente sur la circonférence» excepté aux points z = ifc i, et a pour somme — log * Sur la circonférence, on a
