PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONGTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES

Des périodes.

142. Dans le chapitre lY du Livre II nous avons montré comment» k Taide des quatre fonctions 0^ qui se déduisent d'une même fonction 6, on peut former des fonctions méromorphes doublement périodiques, et nous avons figuré cette propriété par la division du plan en parallélogrammes égaux construits sur les deux périodes. D*une manière générale, nous dirons qu'une fonction f[z) admet les deux périodes 0) et tù\ lorsqu'on a

et, par suite,

f{z 4- mtù 4- m'o)' ) =f{z),

iR et m' étant des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. Nous supposerons que l'on n'a pas/(js -H - ) =/(^)> tétant un nombre entier» sans quoi on remplacerait la période co par la période plus petite - j nous supposerons de même que Ton n'a pas/fz -h — j = /(z). Remarquons d'abord que le rapport des deux périodes est imaginaire. Car, si le rapport — était réel et égal à une fraction ordinaire

irréductible — i on aurait

, , (mn'^¥nfn')(ù

mtù -h m'(ù = —

232 LIVRE IV. - CHAPITRE m.

OD pourrait déterminer les deux nombres entiers m et tri de manière que mn -h m'n' = i; il en résulterait

mtù -H m w — ->

et, par suite,

ce qui est contraire à Thypothëse.

Si le rapport — était incommensurable, en le supposant converti en

fraction continue, il serait compris entre deux réduites consécutives £» S'

dont la différence est — 7; on pourrait donc le représenter par ^ h ;»

h étant un nombre compris entre — 1 et + 1, et Ton aurait

, , (mq-\-m'p m'h\

et, en faisant m = — p^ m' = q^

La fonction aurait la même valeur au point z et au point infiniment

voisin z-\ — %• Appelons u la valeur de la fonctioù/(z) au point js; il

serait impossible de décrire du point z comme centre un cercle ne comprenant aucune racine de la fonction /(z) — u, autre que le point js, ce qui ne peut pas être (n^ 115).

Le rapport des périodes étant imaginaire, les arguments des périodes 0), tù' déterminent deux directions différentes, et Ton pourra diviser le plan en un réseau de parallélogrammes égaux [fig. 67), dont les sommets correspondent aux valeurs mod + wltù' de la variable js (n^ 76). La fonction reprend la même valeur aux points homologues de ces différents parallélogrammes. Si, à l'intérieur du premier

parallélogramme, celui qui a pour sommets l'origine et les trois points oa, (ù\ (ù H- w', il n'y a aucun point w" tel que l'on ait/(j3 -f- w') =/[z),

Fig. 67.

nous dirons que le réseau formé sur les deux périodes 0.), <»>' est un réseau éiémeniaire.

143. Mais s'il existe un ou plusieurs points jouissant de cette propriété» on pourra construire un réseau à mailles plus petites. Remarquons d'abord que le nombre de ces points est limité; car» s'il y en avait une infinité» réquation/(z) — Uo = o^ dans laquelle u^ est la valeur de u pour z = o» admettrait une infinité de racines dans le parallélogramme» ce qui est impossible (n^ 117). Concevons que la droite Ood se meuve parallèlement à elle-même» et soit co'' le premier des points intérieurs dont nous venons de parler qu'elle rencontre ; considérons le réseau construit sur les deux périodes co» c«>''» et qui, d'après sa formation même» est un réseau élémentaire; les sommets du premier réseau appartiennent au second; car» si un sommet du premier réseau ne coïncidait pas avec un sommet du second » il y aurait à l'intérieur de l'un des parallélogrammes» et par conséquent à l'intérieur du premier parallélogramme du second réseau» un point (ù'' tel que/(z -h w*') =/(z)» ce qui est impossible.

Il résulte de ce qui précède que toutes les périodes d'une fonction monotrope se réduisent à une ou à deux périodes distinctes. Dans le premier cas» elles sont de la forme mu; dans le second cas» de la forme mco -h /ti'o)'» m et m' désignant des nombres entiers quelconques»

et le rapport— étant imaginaire.

234 UVRE IV. - CHAPITRE m.

Transformation des périodes.

144. Lorsque la fonction admet deux périodes distinctes, il y a une infinité de manières de former un réseau élémentaire. Il est évident d'abord, d'après ce que nous venons de dire, que les sommets de deux réseaux élémentaires coïncident. Soient o), (ù' les deux périodes d'un premier réseau élémentaire, (ù^, (ù\ celles d'un second. Les sommets coi, (ù\ du second réseau appartenant au premier, on a

/i, p\ Çf q' étant des nombres entiers. Les sommets 6), ta/ du premier réseau appartenant au second , les valeurs de cù et de &>' tirées de ces relations doivent avoir la même forme, ce qui exige que les nombres/', p'p Çf q' vérifient la relation pq'— qp'=:hîf et cette condition est suffisante. Cette relation admettant une infinité de solutions, on en conclut que l'on peut remplacer le système des deux périodes Wi a>' par uiie infinité de systèmes équivalents.

Remarquons que deux réseaux élémentaires sont formés de parallélogrammes équivalents; car, si l'on pose

l'aire du premier parallélogramme est ±{ab''- 6a), celle du second

145. La manière la plus simple de transformer un réseau élémentaire en un autre réseau élémentaire consiste à prendre

y étant un nombre entier quelconque. Les deux parallélogrammes ont alors un côté commun Oco {fig. 68) et les côtés opposés au côté commun sont sur une même droite.

On peut toujours, par une série de transformations de cette sorte»

Î3 UVRB IV. - CHAFTTRE m.

Fonctions intermédiaires.

146. Certaines fonctions simplement périodiques, telles que e*, sins» C0S2, restent holomorphes dans toute l'étendue du plan; telle est aussi la fonction é^^^. Mais il n'existe pas de fonction doublement périodique holomorphe dans un parallélogramme élémentaire» et par conséquent dans toute Tétendue du plan ; car, si la fonction était holomorphe dans un parallélogramme élémentaire , son module serait moindre qu'une quantité fixe M dans ce parallélogramme, et par conséquent dans tout le plan, et la fonction serait constante (n^ 126). La fonction 6 appar^ tient à une classe de fonctions sur lesquelles M. Hermite a appelé l'attention des géomètres et dont il a démontré les principales propriétés (Lettre à Jacobi, i844; Œuvres de Jacobi et Cours de r École Potytechnique). Ces fonctions, intermédiaires entre les fonctions simplement périodiques et les fonctions doublement périodiques, sont holomorphes dans toute l'étendue du plan, et jouissent des propriétés suivantes :

Nous verrons qu'on les exprime toutes à Taide de la fonction 6.

Remarquons d'abord que, si l'on remplace dans Tune et l'autre des relations précédentes z par z + c«>' ou par z + co, on a

ce qui exige que les deux constantes a et a' satisfassent à la relation

n étant un nombre entier quelconque.

Concevons le plan divisé, comme précédemment, en un réseau de parallélogrammes égaux. Il est évident que, si z^ est un zéro de la fonction, toutes les valeurs de z représentées par la formule

238 LIVRE IV. - CHAPITRE m.

Texponentielle 0 ** , et convergente dans tout le plan (n^ 99). Si Ton remplace s par z + ^'f cette série devient

p désignant le rapport — Mais la seconde des relations (4) donne De la comparaison des deux séries précédentes, on déduit

Tous les coefficients de la série pourront donc s'exprimer à l'aide des n coefficients Âo» A4,..., A^,, qui restent arbitraires.

Dans le cas où n = o, Téquation (6) se réduit à A,„ (c^'""P'~* — i) = 0; tous les coefficients sont nuls, excepté un, par exemple A^» et l'on a

amvsi

b = 2mnpi, <p{z) = A^e " ; ainsi la fonction de l'espèce considérée, qui n'a pas de zéro, est une exponentielle. Dans le cas où /i = 1, la relation (6) devient

En donnant à m successivement les valeurs o, i, 2,..., m — 1, et multipliant ces égalités membre à membre, on trouve

et, par suite.

Kl

en posant z^ = — 1 ^. On retrouve ainsi la fonction 9; c'est la

seule fonction de l'espèce considérée qui n'ait qu'un seul zéro dans

le parallélogramme (o), q').

Avec cette fonction 6» on peut former toutes les autres. Considérons

en effet la fonction

qui a n zéros donnés a^^a^^,.,, a^ dans le parallélogramme (co, u'), et qui satisfait à des relations de la forme (4); si la fonction f (z) admet

les mêmes zéros, la fonction holomorpbe y^A^ n'ayant pas de zéros,

et satisfaisant à des relations de même forme, est une exponentielle

9m%sf

Ce " , dans laquelle m est un nombre entier arbitraire; on a donc

(7) <f{z) = Ce -" JJe(^^ + ^-a*)

et, par suite,

(8) f{»):^Ce^"^*'Y[&(^±=^+z-aAy

A, B, C étant des constantes arbitraires. Telle est l'expression générale des fonctions intermédiaires de l'ordre n; elles renferment n + 3 constantes arbitraires, savoir les n zéros et les trois coefficients A, B* C. CTest à l'aide de ces fonctions holomorphes que l'on forme les fonctions doublement périodiques; car, si l'on considère deux fonctions intermédiaires satisfaisant aux mêmes relations (i), et, par conséquent» du même ordre, à cause de la relation (2), leur quotient sera une fonction méromorphe doublement périodique. Nous allons maintenant étudier en elles-mêmes les fonctions doublement périodiques.

148. THioRiiME \. — La somme des résidus d'une fonction méromorphe doublement périodique, dans chaque parallélogramme élémentaire, est nulle.

Soit/(2) une fonction méromorphe admettant les deux périodes o), o'. Considérons un parallélogramme, rectiligne ou curviligne, ayant pour sommets z^^ Zo-ho*, Zq-\- (ù\ Zq+w-Hw', et dont le contour ne

240 LIVRE IV. ~ CHAPITRE m.

passe par aucun pôle. Nous savons (n^ 120) que l'intégrale

^Jn')d^,

relative à ce contour» est égale k la somme des résidus de la fonction/(2) relatifs aux pôles situés dans le parallélogramme. Les côtés opposés du parallélogramme donnant dans Tintégrale des résultats égaux et de signes contraires» l'intégrale définie et» par conséquent» la somme des résidus» est nulle.

149. Théorème II. — Toute fonction méromorphe doublement périodique admet au moins deux infinis dans chaque parallélogramme élémentaire.

Comme nous l'avons déjà remarqué (n^ 146)» la fonction devient nécessairement infinie dans chaque parallélogramme élémentaire et» par conséquent» puisqu'elle est supposée méromorphe, elle admet un ou plusieurs pôles dans ce parallélogramme. Si tous les pôles a» |3,... sont simples, la fonction pou^ra se mettre sous la forme

/i (z) étant holomorphe dans le parallélogramme (n^ 118); les résidus relatifs aux pôles sont A, B,...; puisque la somme A + B •+... des résidus est nulle» il est nécessaire qu'il y ait au moins deux pôles dans le parallélogramme. Mais» au lieu de deux pôles simples» il peut y avoir un pôle double; dans ce cas» on aura

le résidu étant nul.

150. CoROLLikiRE. — Deux fonctions intermédiaires du premier ordre, satisfaisant aux mêmes relations

sont dans un rapport constant. Autrement ce rapport serait une fonction

doublement périodique n'ayant qu'un infini dans chaque parallélogramme (ck), (û'). C'est d'ailleurs ce que l'on peut vérifier directement à l'aide de la formule (8), qui représente ce genre de fonctions.

Il en résulte que les fonctions 9 sont, abstraction faite d'un facteur constant, les seules qui jouissent des propriétés établies au n^ 75, savoir :

e,(2-f-û)')r^e -^ ^9,(2), ( 9(2-|-a)')=:-éf «' ^0(2),

9,(2 4-0))=:=— 9,(2), i 9,(2-Hw)n=— 9,(2),

151. Théorème III. — La somme des ordres d^une fonction méro-' morphe doublement périodique ^ dans chaque parallélogramme élémentaire^ est nulle»

D'après le théorème du n^ 122, la somme des ordres de la fonction/(2) dans un parallélogramme est égale à l'intégrale définie

J^./Dlog/(z)dz,

relative au contour du parallélogramme; la fonction D log/(z) = 'yr^^

admettant les deux périodes o), o', comme la fonction proposée/(2) et sa dérivée /'{z)f les parties de l'intégrale relatives aux côtés opposés sont égales et de signes contraires. Ainsi l'intégrale définie, et, par conséquent, la somme des ordres de la fonction/(2), est nulle.

Corollaire. — Appelons n le nombre des infinis de la fonction /{z) dans un parallélogramme élémentaire, en tenant compte du degré de multiplicité de chacun d'eux; le nombre des zéros sera aussi n. La fonction doublement périodique /{z) — i/, dans laquelle nous regardons u comme une constante, ayant les mêmes infinis que /{z), a aussi n zéros; on en conclut que, dans chaque parallélogramme, il y a /i points où la fonction proposée /{z) acquiert une valeur donnée quelconque i/. D'après cela, nous caractérisons l'ordre d'une fonction doublement périodique par le nombre de ses infinis dans chaque parallélogramme; l'ordre est au moins égal à deux. Les trois fonctions

elliptiques X, fi, v, que nou8 avons formées à l'aide des quatre fonctions 6 (n^ 76), ont chacune deux infinis dans chacun des parallélogrammes du réseau; ce sont des fonctions du second ordre et les réseaux, tels que nous les avons construits, sont bien des réseaux élémentaires.

La dérivée /' {z) admet les deux périodes ca, co'. Le réseau construit sur ces deux périodes est aussi un réseau élémentaire de la fonction /' (z) ; car si , dans le premier parallélogramme, il y avait un point tù" tel que l'on eût/' (z-+- tù") =/' (jz), la fonction /(z 4- w'') —f[z), ayant sa dérivée nulle, serait une constante A, et l'on aurait/(z -h mtù") —/{z) = mA; mais, comme on a ici (ô'= m'o) + moi", la constante A serait nulle, et l'on aurait /{z -h ta") ^f[z). Soit p le degré d'un infini de la fonction/(2); la dérivée /'(z) admet le même infini au degré /i + i; l'ordre de la dérivée est donc égal à 2 (/i + i) = /i + /i|, /i| désignant le nombre des infinis distincts; il est égal, au moins à /i-f i, au plus à a/i.

152, Th^.orème IV.— Deux fonctions méromorphes doublement pé' riodiques, aux mêmes périodes y et qui^ dans un parailélo gramme élément tairey ont les mêmes zéros et les mêmes infinis , chacun au même degré, sont dans un rapport constant.

Le rapport des deux fonctions proposées est une fonction doublement périodique, aux mêmes périodes. Ces deux fonctions ayant les mêmes zéros et les mêmes infinis, chacun au même degré, leur rapport reste holomorphe; c'est donc une constante (n^ 146).

153. Théorème V. — Si l'on considère les zéros et les infinis d^une fonction méromorphe doublement périodique qui sont situés dans un même parailélo gramm^e élémentaire^ la somme des zéros ne diffère de celle des infinis que par des multiples des périodes.

Soit/(jz) une fonction méromorphe doublement périodique aux périodes 0), 0)', ayant n zéros a^ , as,..., a„ et n infinis a,, «2,..., oc„ dans un même parallélogramme élémentaire. On peut trouver dans ce parallélogramme uo point d^ tel que rexcès de la somme ol^ -h a2+...-r- a„ sur la somme d^ + 0^ + ...+ a^ soit de la forme /7iot)'4- m'o). Consi-

FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 2i3

déroDS la ronction

qui admet évideinmeol la période c«>. Quand on y remplace z par z -h coS le numérateur et le dénominateur étant multipliés respectivement par

ta

la fonction 9 (2) est multipliée par

c'est-à-dire par i; elle admet donc aussi la période co\ D'ailleurs elle a dans le parallélogramme les zéros a\, a,,..., Un et les infinis «i, ^2 a„. Je dis maintenant que a, = a\ ; car» si cela n'avait pas lieu, le

f(z) rapport ^-^-^ serait une fonction doublement périodique n'ayant qu'un

infini a\ dans le parallélogramme» ce qui est impossible (n** 149). Ainsi les zéros et les infinis situés dans un même parallélogramme élémentaire satisfont à la relation

(i3) 2aA — 2aA — mw'n- m'oi. ^

Ce théorème important est dû à M. Liouville.

154. Théorème VI. — Il existe une /onction méromorphe doublement périodique ayant des périodes données et admettant dans un paraUélo^ gramme élémentaire n zéros et n infinis donnés^ tels que la somme des zéros ne diffère de celle des infinis que par des multiples des périodes.

Soient o), tù' les périodes données, a^^a^^^fUn les zéros» a^ a2«...9a;i les infinis situés dans un même parallélogramme élémentaire; nous supposons que ces zéros et ces infinis satisfont à la relation

m et m' étant deux nombres entiers. Nous avons vu que la fonction

xm*zt

dans laquelle le coefficient A est arbitraire, jouit de toutes les propriétés énopcées; en vertu du théorème IV, c'est la seule. On déterminera le coefficient A en donnant la valeur de la fonction pour une valeur particulière de la variable.

155. Théorème VU. — La somme des n valeurs de la variable qui, dans un même parallélogramme élémentaire ^ correspondent à une même valeur de la fonction, est constante^ abstraction faite des multiples des périodes.

Soient «i, a,,..., a„ les n infinis de la fonction doublement périodique/(z) dans un parallélogramme élémentaire; la fonction /(z) — u^ dans laquelle nous regardons u comme une constante, ayant les méoies infinis que /(z), a aussi n zéros 2«, Z2, . f z^ dans le parallélogramme; en vertu du théorème V, la somme 2, -+- «2-I-...-I- z« de ces n valeurs de z ne diffère de la somme «< + «2 + ... 4- a„ des infinis que de multiples des périodes.

Corollaire I. — Une fonction doublement périodique du second ordre 9 dont les infinis sont a et /3, satisfait à la relation

Soit/(z) une fonction doublement périodique du second ordre, aux périodes &), ci>', et ayant les deux infinis a et P; à chaque valeur de la fonction correspondent dans un même parallélogramme deux valeurs Zf et z^^ dont la somme z^ + z^ ne diffère de la somme a + |3 des infinis que de multiples des périodes; on a donc

s, -:- z, = « -I- p H- mo) ~: m'h\\

Zi r.r a H- (î — 2, 4- mo) -T- m'o)\

et, par suite.

/(a- (3- 3,)- fiz,).

et celte relation a lieu, quelle que soit la valeur de z^.

La fonction X(s), aux périodes 20, «', ayant les infinis — > &> — — ,

PONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. Î45

satisfait à la relation X(« — z) = X(«), qui d'ailleurs est une conséquence de la relation X(2 -h w) = — X(:;) (n° 76).

156. Corollaire II. — La dérivée d'une /onction doublement périodique du second ordre , aux périodes « , cj', et ayant deux infinis

simples a et l3, admet les quatre zéros - — -^ - — - 4- -» - — - + ~»

Il est des cas où l'on aperçoit immédiatement certains zéros et certains infinis de la fonction. Considérons d'abord une fonction satisfaisant à la relation /(c — 2) = —f{z), dans laquelle cest une constante. En

faisante = -j on a/(-j - — /f~j ; d'où l'on conclut que la valeur-

rend la fonction nulle ou infinie. En faisant 2 = - h — 9 on a de même

f{- 4- - ) = ""/(^ "^ ")' d'où l'on conclut que la valeur - 4- - rend

aussi la fonction nulle ou infinie; on peut en dire autant de - + ^ et de

- H Ainsi les quatre valeurs -j-4-->-4 1 — i

sont des zéros ou des infinis de la fonction. La somme des autres zéros deux à deux, et de même celle des infinis, est égale à c; car, les fonctions/(z) et/(c - z) admettant les mêmes zéros et les mêmes infinis, si a est un zéro, c ~ a est aussi un zéro, et, de même, si cl est un infini, c — cl est aussi un infini. Une fonction impaire rentre dans cette catégorie; il suffit de faire c = o.

Considérons, en second lieu, une fonction satisfaisant k la relation/(c — z) t=r/(z). Les zéros et les infinis de cette fonction ont encore, deux à deux, une somme égale k c. La dérivée satisfaisant k la

relation /'(c — z) = — /'(z), les quatre valeurs -» - 4- -^ - 4- ^»

£ -f- î? — ^ sont des zéros ou des infinis de la fonction/' [z). Une fonction paire rentre dans cette catégorie; il suffit de faire c = o.

Nous avons vu qu'une fonction doublement périodique du second ordre satisfait k la relation /(a -t- jS — z) =f[z)\ il en résulte que les

quatre valeurs • ^ 4--1 — ^ -h - -^4 1 attribuées

à Zf rendent la dérivée/' (2) nulle ou infinie. Si la fonction /(z) a deux infinis simples a et |3, la dérivée, ayant les deux infinis doubles a et /3, est du quatrième ordre; ses quatre zéros sont les quatre valeurs précédentes. Si la fonction a un infini double a, la dérivée, ayant l'iofini triple a, est

du troisième ordre ; ses trois zéros sont a-f- ->«-+-—» a + - — ^*

157. Théorème VIII. — Les trois /onctions elliptiques satîsfoni aux deux relations

(i5) ft'{a) + ^*(2) =',

Les quatre fonctions 6^ {z) sont des fonctions intermédiaires du second ordre, ayant chacune un zéro double dans le parallélogramme (o), 0)'), et satisfaisant aux relations

'as -h M* }

Les fonctions paires

B\{o)enz)-6^(o)0Uz). e\(o)BHz)^0^{o)ei[z)

satisfont aux mêmes relations et admettent le zéro double 2 = 0, comme la fonction 0\{z); car leurs dérivées, étant impaires, s'annulent pour z =: o; ces deux fonctions sont dans des rapports constants avec la fonction 6^ (z); autrement ces rapports seraient des fonctions doublement périodiques, n'ayant pas d'infinis. On a donc

0]{o)0'iz)-0'{o)Ol{z)r.z\û]{z),

Ol{o)0^z)-OHo)0][z)-.-.Bei{z).

On détermine les constantes A et B en faisant 2 ==: -^, ce qui donne et l'on obtient les deux relations

(18) B\(0)B-[Z)^ no)B\[z):=:zQ\{o)Q]{z),

desquelles on déduit les deux relations cherchées.

248 LIVRE IV. - CHAPITRE Ul.

a 4- i!L:!L2L. La fonction u!^ est du sixième ordre; elle a un infini sextuple a et trois zéros doubles. Si l'on considère la fonction

on verra, comme précédemment, que le rapport des fonctions vt^ et 9 (z) est constant. Dans ce cas, le polynôme placé sous le radical est du troisième degré.

159. Corollaire. — Appliquons ce théorème à la fonction X(z), dont les périodes sont so), co'. On a ici

et l'équation différentielle se réduit à Des relations établies au n^ 157 on déduit en différentiant

En vertu des formules (22) du n° 77, on suppose que, dans les équations précédentes, les radicaux ont la valeur + i , le premier pour z = o,

le second pour 2 = -> le troisième pour z = ^'

L'équation (21) renferme deux constantes A: et ^ que Ton appelle, la première le module^ la seconde le multiplicateur de la fonction elliptique X. La constante k\ qui satisfait à la relation ^' + ^' = 1, est le module complémentaire. D'après les formules (17) du n^ 76 et (2i3) du

n^ 77, les modules A et A:' ne dépendent que de la constante ^ =1= « * ,

161. Théorème XI. — Toute fonction mémmorphe doubkmeni périodique s* exprime rationnellement au moyen d'une fonction du second ordre ^ aux mêmes périodes^ et de sa dérivée.

Soient u =f{z) une fonction du second ordre, aux périodes &), (ô\ et ayant pour infinis a et]3, ¥{z) une fonction de Tordre n aux mêmes périodes, et ayant pour infinis «i, a2'**-> o^n' Considérons d'abord la fonction

9(2):^F(2)-f-F(a-hp — 3),

qui est de l'ordre 2n, car elle admet les an infinis

elle satisfait à la relation y (a -h /3 — -s) = f{z); elle est donc égale à une fraction rationnelle en u^ et l'on a, d'après le théorème précédent,

L et M étant des polynômes entiers en u du degré n. Considérons ensuite'la fonction

qui est aussi de l'ordre 2n; car elle admet les mêmes infinis que la fonction y (s) ; elle satisfait à la relation H^ "♦■ P — -) = — + (5)f comme la fonction/' (5); d'après une remarque du n*^ 156, cette fonction admet

les quatre zéros de la fonction/ (z), savoir ^^^, ^^ti ^ 2!, ?L±i ^ ^X,

Ji -J^ Jt Jb 2

^ "^ 4- — -- et 271 — 4 autres zéros qui, deux à deux, ont une

somme égale à a -+- p. La fonction x ^^) = Tn\ conserve donc une va-

leur finie quand le dénominateur/' (z) s'annule; elle est aussi de Tordre a/i, car elle admet les 2n infinis de ^(^), qui sont les mêmes que ceux de 9(2); ses 2/1 zéros sont les deux infinis doubles oc et |3 de/* (5) et les a/i — 4 zéros de ^(2), autres que ceux de/'(s); elle satisfait, d'ailleurs, à la relation dex(aH-/3--i;) = ;r(5î); on en conclut qu'elle

est égale a une fraction rationnelle y en i/, dont le dénominateur est le

même que celui de la fraction précédente et le numérateur du degré /i— a; on a donc

Des deux relations (q5) et (26) on déduit la relation cherchée

(.7) Ti.)~''-±^t(^.

Ce théorème est dû à M. Liouville.

162. Corollaire. — Soient/(:?) = [i{z), F(z) = ii{nz)^ /i étant un

nombre entier. On peut prendre a = —* jS = — — 1 d'où a -+- jS = o.

Puisque F(— 5) = F (s), on conclut, d'après le théorème X, que ii{nz) s'exprime par une fraction rationnelle en jul(j5). De même v{nz) s'exprime par une fraction rationnelle en v{z).

Soient maintenant/(5) = '>,{z)^¥{z) = X{nz). La somme a H- jS est égale à «. Quand n est impair, comme on a F (a -♦- ]3 — z) = F (z), la fonction \{nz) s'exprime par une fraction rationnelle en X{z). Quand n est pair, comme on a F(a 4- j3 — 2) = — F{z), d'après la relation (p.6) établie au numéro précédent, ^{nz) est égale au produit de X'{z) par une fraction rationnelle en X(z). Nous nous occuperons plus tard de la détermination de ces fractions rationnelles.