Fonctions inverses. — Considérons l'équation

dans laquelle/(z) est une fonction méromorphe doublement périodique de l'ordre /i, aux périodes co, tù\ et où nous regardons z comme Tinconnue. A chaque valeur finie ou infinie de u correspondent n séries de valeurs de z de la forme

(29) r, 4- wû) -h m f.) , 2, -h niu) -h m r.) ,. . ., r« -h /nw -h m w ,

m et m' étant des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. Le premier membre de l'équation étant une fonction méromorphe de u et de z pour toutes les valeurs finies ou infinies de u et pour toutes les

252 UVRE IV. — CHAPITRE m.

valeurs finies de z, les racines jouissent des propriétés énoncées au n^ 130. L'équation peut servir à définir une fonction implicite z de la variable u; on fera partir la variable du point £/o» en attribuant à z une valeur initiale z^ qui soit racine simple de l'équation; tant que z reste racine simple, elle est fonction holomorphe de u. Supposons que, la variable u arrivant au point £/« par un chemin déterminé, z devienne égale à une racine multiple ^i du degré p\ si l'on fait u = u, + u'^ 5 = z, -h z\ l'équation devient

On se trouve ici dans le cas simple examiné au n° 33 : \esp racines voisines de js« forment un système circulaire, et se permutent les unes dans les autres, quand la variable u tourne autour du point i<|. Les mêmes propriétés subsistent quand la variable u devient infinie; car,

si l'on pose u = -79 le point u' = o est un point ordinaire ou un point

critique semblable aux précédents. Si donc on figure la variable u par le mouvement d'un point sur la sphère, on peut dire que sur toute la sphère il n'y a pas de points singuliers autres que des points critiques algébriques.

Les points critiques sont donnés par les équations simultanées

La seconde équation est satisfaite par n' séries de valeurs de z de la forme z^ -h mtù -{- m' (ù\ auxquelles correspondent n' valeurs de u. Relativement à la variable u^ il y a donc un nombre fini n' de points critiques; mais à chacun d'eux se rapportent une infinité de groupes de racines égales; car, s'il y a un groupe de p racines égales à jS|, il y a un groupe dep racines égales à Z| + mrù + m'o)', m et m' étant des nombres entiers quelconques.

Quand la variable f/, partant du point initial i/o> décrit différents chemins aboutissant à un même point ££, la fonction z acquiert toutes les valeurs comprises dans les formules (29) ; car, lorsqu'on regarde z comme la variable, à des chemins allant du point ^o ^ ces diverses valeurs correspondent des chemins allant du point u^ au même point u.

Inversement, lorsque la variable u décrit ces derniers chemins, la fonction z décrit les premiers.

164. La considération de la fonction inverse permet de démontrer le théorème VU sans avoir recours à la formation des fonctions doublement périodiques à l'aide de la fonction 9. La fonction -jr—l , dans

laquelle u est une constante, étant doublement périodique, la somme des résidus de cette fonction relatifs aux pôles ^i, ^a,..., z^^ situés dans un parallélogramme élémentaire, est nulle (n^ 148). L'un de ces résidus

est la limite vers laquelle tend la quantité ^ > Z ff — \ q^^"^ ^ ^^^^ vers 5,; cette limite est 777— x* 0" obtient ainsi l'équation

-i- -jvT i +...-+- 7.77 : = O.

Concevons maintenant que u varie d'une manière continue, sans passer par aucun point critique; chacune des quantités z«, ^2* •••> ^n variera d'une manière continue et sera une fonction holomorphe de u dans une

certaine étendue ; il en est de même de leur somme Ç. Puisque -^ = jn — :» Téquation précédente devient

du du du ' " du

On en conclut que la somme Ç reste constante.

Il peut se faire toutefois que, dans leurs variations, un ou plusieurs des points Z|, Za»***» ^n sortent du parallélogramme où ils étaient d'abord; en les remplaçant par les points homologues de ce parallélogramme, on augmente ou on diminue la somme de l'une des périodes.

165. Théorème XII. — Une /onction meromorphe doublement périodique f[z), aux périodes aw, &>', de l'ordre 2/1, et qui satisfait à la relation /(z 4- «) = — /(^j, est une fonction linéaire des quantités

X f — -h ^ — a j j 5« fc^ infinis ol sont simples ^ e/, en outre, de leurs dérivées

si les infinis sont multiples.

Considérons le parallélogramme ABDC» dont le sommet A est un point arbitraire j^o» et l^s deux sommets B et G les points £« + 0, s^ + si)'. Soit / un point situé à l'intérieur. La fonction

admettant les deux périodes g), fù\ la somme de ses résidus dans le parallélogramme ABDC est nulle, et Ton a Téquation

Uk étant Tun quelconque des infinis de la fonction /(:;) situés dans le parallélogramme ABDC, moitié du parallélogramme élémentaire relatif à cette fonction; l'autre moitié renfermera les infinis cnk + o. Lorsque Tinfim Uk de la fonction /(z) est simple, on a

en désignant par Aa le résidu de la fonction /(s). Si tous les infinis sont simples, l'équation (3i) devient

Puisque les deux membres changent de signes quand on augmente / de Cl), l'égalité est vraie pour toutes les valeurs de /. En remplaçant/ par z, on a

(Xh)

Supposons maintenant que ol^ soit un infini multiple du degré />. En

posant z = a^-h z' et développant en séries, on a

et Ton trouve pour le résidu cherché

On obtient ainsi l'équation

qui est vraie pour toutes les valeurs de z.

166. Corollaire I. — Une puissance impaire de X(z) est une fonction linéaire de\{z) et de ses dérivées d'ordres pairs.

La fonction 'k^"'*'*{z) change de signe quand on remplace z par

z + ci); elle n'admet qu'un infini — au degré an-hi dans le parallé-

logramme (^, &>'); on peut donc lui appliquer la formule (33). La fonction

étant impaire par rapport à 2', son développement en série ne con-

236 LIVRE IV. - CHAPITRE ffl.

tient que des puissances impaires de z'^ et I'od a

I Aïn^., A,»-,

On en déduit

Remarquons que le coeflîcient Aaw+i est égal a -^• Si Ton remplace z par s h — » il vient

167. Corollaire II. — Une puissance paire de \[z) est une fonction linéaire deï}[z) et de ses dérivées d^ ordres pairs.

La fonction

admettant les deux périodes co, ci>\ la somme de ses résidus dans le parallélogramme ABDt! est nulle. Le résidu relatif à Tinfini double

z = t est —D^X^^f/). Pour trouver le résidu relatif a l'infini — du degré 2/1, nous poserons, comme précédemment, z = — 1-2'; d'où

^ \ 2 t^ ■^ j - /,»V-(3') ~ /r'« [ z'* ^ 2'—' +• • •+ 2'. -^- • • J' ' =.A'X'(/-2').-=/.'h.'(Z)- ^D,?,'(/)-i- i.'lD;X'(/)-...

le résidu est

/fln-l I I V / 1.2.3 '' ' 1.2. . .(a/l — I) ' ^ 'J

et l*on a Téquation

Concevons maintenant que, après avoir multiplié les deux membres de cette équation par dt^ on intègre en faisant varier / de o à 2, sans passer par aucun pôle de X(z); on aura

C étant une constante que Ton déterminera par la condition que le second membre s'annule pour z = o.

En remplaçant z par z-\ — 9 on en déduit

168. Théorème XIII. — Une fonction méromorphe doublement périodique f[z)^ aux périodes o, (ù\ est une fonction linéaire des quantités D log6|(z '~ol)> si les infinis a sont simples ^ et, en outre, de leurs dérivées si les infinis sont multiples.

En vertu des relations (10) et (11) du n^ 75, les quatre fonctions

impaires Dlogô(2) = ^y— | admettent la période g» et éprouvent un

accroissement constant quand on remplace z par z -h w'; car

chacune d'elles satisfait à la relation

DlOg0(z4-&)')rrr- ^^-l-DlOge(^).

On en déduit

D* loge (z -f- 6/) = IV \oge{z).

Ainsi les quatre fonctions paires D'logd(z) admettent la seconde période cù'; ce sont des fonctions méromorphes doublement périodiques du second ordre, aux périodes o, o'. Chacune d'elles a un infini double qui est le zéro de la fonction correspondante 6. Considérons l'intégrale définie

^ r/(z)D.ioge.(z-/)rfz.

relative au contour du parallélogramme ABDC» dont nous nous sommes servis dans les numéros précédents, et dans lequel nous marquons toujours un point /. Les deux côtés BD, CA donnent des résultats égaux et de signes contraires. Si z est un point de AB, le point homologue de CD est z ■+• û)', et Ton a

D,loge,(z - / + û>')=:- ^^ -f- D,loge.(z - /);

l'intégrale définie se réduit donc à l'intégrale

- / /(z)dz

suivant le côté AB; nous la représenterons par H.

Cherchons maintenant les résidus de la fonction/(z) D^ logô< {z — /) relatifs aux pôles situés dans le parallélogramme. Ces pôles sont le point / et les infinis a^ de la fonction /(s). Le résidu relatif au pôle simple / est/(/), puisque le résidu de la fonction D, logô|(s — /) est égal à Tordre de la fonction 6^{z^ t) en ce point (n^ 121), c'est-h-dire à l'unité. On a donc l'équation

(38) /(O-Viî^ f(z)DAoge^(z^n = lL

Lorsque l'infini a^ est simple, le résidu cherché est

AAD,log0,(/-aA),

Aa désignant le résidu de/{z). Si tous les infinis sont simples» Téquation devient» en remplaçant / par z.

(39) /(z)=H4-^AAD.Iog0.(5-aA).

Supposons maintenant que la fonction/(2) ait un infini multiple a^ du degré p. En posant z = aj^-h z' et développant en série» il vient