Considérons, par exemple, une fonction entière

si Ton pose

on a

La fonction u devient infinie pour z' = o; mais si Ton pose

on a

mfm

la fonction u' est holomorphe dans le voisinage du point 0'; on dira donc que le point 0' sur la sphère est un pôle de la fonction u. Ainsi la fonction entière est holomorphe sur toute la sphère, excepté au point 0' qui est un pôle.

«Considérons maintenant une fraction rationnelle

"" Bo 2" -4- B, z"-' H- ...-+- B/

en posant

on a

Tj„ -h B,, s' H- .7. -H B, z'"

iO UVRE 1. - CHAPITRE II.

Considérons l'aire enveloppée par la courbe abcd [fig> lo), et qui est divisée en quatre parties par des transversales. Nous supposons qu'aucune des lignes ne passe par une racine ni par un pôle, et que chaque contour est parcouru dans le sens positif, c'est-à-dire dans un sen^ tel

Fig. 10.

qu'un observateur ait toujours à sa gauche l'aire enveloppée par le contour. La variation de l'argument de la fonction suivant le contour abea est égale à la somme des variations suivant les arcs afr, be, ea; de même la variation de l'argument suivant le contour bceb est égale à la somme des variations suivant les arcs bc^ ce^ eb^ et ainsi de suite. Mais chacune des transversales ae^ be^ ce^ de est parcourue deux fois dans des sens opposés, ce qui donne des variations égales et de signes contraires; il reste donc dans la somme les variations relatives aux arcs ab^ bc, cdj da, c'est-k-dire la variation relative au contour entier abcda.

Fig. 1 1 .

F'iQ. II.

21. Théorème I. — Lorsqu une fonction est holomorphe dans une partie du plan ne comprenant aucune racine^ la variation de V argument de la fonction sur le contour de l'aire est nulle.

Soit Zo une valeur de la variable z a laquelle correspond pour la fonction une valeur Uq diflerente de zéro. La fonction étant continue, on peut assigner un nombre p tel que, si le module de z — Zq est égal ou inférieur à p, le module de u-- Uq ou la distance u^u soit moindre que le module de Uq ou la distance Oc^o* D*aprës cela, si le point :; décrit une courbe fermée {/ig. ii) comprise dans le cercle décrit du point Zq comme centre avec un rayon égal à p^ le point u décrira une courbe fermée {^g* 12) située dans le cercle décrit du point Uq comme centre avec un rayon égal à la distance Ouq; l'argument de u reprendra donc sa valeur primitive.

Supposons maintenant que le point js décrive le contour d'une aire ne comprenant aucune racine. On pourra partager cette aire en parties assez petites {Jig. i3) pour que chacune d'elles jouisse de la propriété précédente. La variation de l'argument de la fonction étant nulle sur le contour de chaque aire partielle, elle est nulle aussi sur le contour de l'aire totale, d'après le lemme II.

Fiy. i3.

Fig. 14.

22. Théorème II. — ia variation de V argument d' un polynôme entier^ suivant le contour d'une aire parcourue dans le sens positifs est égale au produit de 2n par le nombre des racines comprises dans cette aire.

(Cauchy.)

Soient a,, as,. . ., a,t {Jig. i4) les racines situées dans l'aire plane considérée; on a

Targument du polynôme /(:;) est égal à la somme des arguments des

2i UVRE I. - CHAPITRE U.

facteurs; quand le point z décrit la courbe fermée, dans le sens positif, l'argument de chacun des facteurs z — at, z — a^, . . . , » — «« augmente de 2n; le polynôme 9(2) n'ayant aucune racine à l'intérieur de la courbe, son argument reprend sa valeur primitive; donc l'argument de /{z) augmente de 271 x n. Ceci ne suppose pas que toufes les racines

soient distinctes.

23. Corollaire. — Un polynôme entier du degré m a m racines. Soit

le polynôme proposé; si l'on pose

ce polynôme devient

Ao-4- A,z'-+-. . .4- Aw;;'*"

ffm

Le numérateur ne s'annulant pas pour z' = o, on peut assigner un nombre r' tel que, si le module de z' est égal ou inférieur à r', le module de A| js'-h Aaz'^-h . .. -h A,„z"" soit moindre que celui de A©; le numérateur ne s'annulera donc pour aucune valeur de z' située à l'intérieur du cercle décrit du point 0' comme centre avec le rayon r' dans le second plan tangent à la sphère (n° 17), et par conséquent le polynôme proposé n'aura aucune racine en dehors du cercle décrit du point 0 comme

centre avec le rayon r ^ -j dans le premier plan tangent. Concevons

maintenant que le point z décrive la circonférence r dans le sens positif, ou que le points' décrive la circonférence r' dans le sens négatif, l'argument du numérateur ne changeant pas, et celui de z' variant de — 27r, l'argument de u éprouvera une variation égale à arr x m; donc le polynôme a m racines.

En désignant par a© le module de Ao et par a le plus grand des mo-

dules des coellicients suivants, on peut prendre r' — --— -, il en résuite que le nombre r = *' -- 1 -f- - est une limite supérieure des

^ Uo lia ^

modules des racines.

positive à une valeur négative, ou inversement, et ^ désignant toujours l'arc compris entre et H — » qui répond à la valeur de la tan-

gente y* Après un troisième changement de signe de X, on aura

cp =z e, t: -I- Ea 7r -4- Sa TT -4- 4^ »

et ainsi de suite. Par conséquent, si X a changé de signe m fois avant que le point z en suivant le contour C arrive dans le voisinage de ao» on aura pour un pareil point

<p izr £, 7: -h £,7r -+-. . .-f- e«7:-f- ^,

Mais lorsque z atteint a^f Tangle ^ devient égal a 90» et la variation totale de l'argument est

on a donc

n étant le nombre des racines comprises dans le contour C. Soient m' le nombre des termes de la parenthèse dont la valeur est 4- i , m" le nombre des termes dont la valeur est — i; la formule s'écrit

Lorsque la valeur initiale Xo de X est négative, on peut répéter le même raisonnement en prenant pour 90 et ^ des angles compris entre -

et 3-.

25. La somme £< 4- s^-f- . . . -f- e^, qui correspond a la variation de /

entre les limites t^ et /,, est ce que Cauchy nomme indice de la fonc-

tion ^ entre les limites /» et /< , et il représente cet indice par la notation

i;:(X) ou i;;F{/).

LES FONXTIONS ALGÉBRIQUES. 2»

Si ron partage une ligne quelconque en plusieurs parties, l'indice du quotient :^ relatif à cette ligne est évidemment égal à la somme des indices du même quotient pour chacune des parties de la ligne.

On calcule aisément Tindice relatif à une ligne donnée, lorsque le long de cette ligne X et Y sont des fonctions entières de la variable /, à Taide des remarques suivantes (Cauchy, Journal de V École Polytechnique, sS** Cahier).

I® Si le degré de Y surpasse celui de X, en effectuant la division jusqu'à ce que l'on parvienne à un reste Y| de degré moindre que X, on a

Q étant une fonction entière. Il est clair que les quotients ^ ^^ Y ^^'

viennent infinis en même temps et ont des valeurs de même signe pour les valeurs de la variable voisines de celles qui les rendent infinis; il en résulte

2^ Considérons les deux quotients inverses ^9 ^ ^^ ^^^^^ indices I, !« ,

quand / varie de ^0 à /«. Chaque fois que l'une des fonctions X, Y s'annule et change de signe, l'un des deux quotients devient infini et son indice augmente ou diminue d'une unité, suivant que ce quotient passe

d'une valeur positive à une valeur négative, ou inversement. Par con-

séquent, si le quotient ^ a le même signe pour t^ et /|, le nombre des

changements de signes qu'il éprouve en allant d'une valeur positive à une valeur négative est égal au nombre des changements de signes qu'il éprouve en allant d'une valeur négative a une valeur positive, et l'on a