A AA
D, logô, {t — on-z') = D loge, {l — «a) - Y D' logô, (/ — «a) -h...
et le résidu cherché est
A* D logô, {<-«*)- :^ D' loge, ( /-«*)-)-.. . On obtient ainsi l'équation
j /(z)= H H-^rA*Dloge,(2- a*)- :^D'loge,(z -«*) + .., (4o)l * ^A
Il est facile de reconnaître que les seconds membres des équations (39) et (4o) admettent la période (ù\ grâce à la relation 2A| = o (n^ 148)» ce qui démontre que ces équations sont générales»
169. Orollaire. — Chacune des fonctions ttt— x» ^tA ' ttt^ admet
les périodes <»» (o\ et a un infini double a= o dans le premier parallélogramme; ces fonctions étant paires» dans les développements en séries
le coefficient A, est nul; on a d'ailleurs A2 = -^i on obtient ainsi les
260 LIVRE IV. — CHAPITRE m.
expressions
^^ = i5[H.-DMogô.(z)].
En remplaçant z par Tune des quantités z -h — ? z + -» z et tenant compte des relations des n^ 75 et 77» on en déduit
V(^)== ^, [H-DMog9(z)], (42) {y'{z)= =/ [H.-D'Ioge(z)],
0) -4- oi' »
fi'
[H-D'IogÔ,{z)].
^ir(i)=^.[H.-DMogô,(z)];
by=iîF' [H-D'log0.(^)l,
(44) |^;j^^=^;^[H.-DMog0.(z)],
On a ainsi les carrés des trois fonctions elliptiques, de leurs réciproques et de leurs rapports deux à deux, ou, ce qui est la même chose, les carrés des rapports des quatre fonctions Q deux à deux.
On obtient les valeurs des constantes en faisant z = o dans la première des équations (42), la seconde des équations (43) et la troisième des équations (44)- Oo trouve
^^ ' Q(o) 0,(oj 63(0)
FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIŒMOUES. 261
Les deux théorèmes précédents sont dus à M. Hermite; le dernier joue dans les questions d'intégration le même rôle que la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples; il permet d'exprimer l'intégrale d'une fonction doublement périodique quelconque à l'aide des fonctions logd|(z — a^] et de leurs dérivées. On a» par exemple,
(46, y^.(,)rf, = ;j^[^>,Dlog0(z)].
Les fonctions &.
170. Les zéros des quatre fonctions d, formées avec les deux constantes (ùf (ù\ sont représentés par les formules
zéros de Oi, -s = mw -+- m'o)',
» 6„ z = — h (mwH- m'w'),
j) Oj, z = h(m&) -h m'o)'),
OÙ m et m' désignent deux nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs (n*^ 74). Les zéros de chacune d'elles sont les sommets d'un réseau construit sur les périodes o), (ù'. Imaginons que l'on forme avec deux autres constantes cù^^ (ù\ quatre nouvelles fonctions Q analogues aux précédentes. Pour que l'une des nouvelles fonctions ait les mêmes zéros que l'une des premières» il faut que les sommets des deux réseaux correspondants coïncident» et» par conséquent» que les deux systèmes de périodes (c>)» tù'), (c>)|» (ù^) soient équivalents ( n'' 144) ; en doit donc avoir
(i) Wi = ao) -h 6&)', &)', = a'w H- 6'&)',
les nombres entiers a» b, a', b' satisfaisant à la relation ab' -- ba' = i ; nous prenons le déterminant égal à + i » afin que dans le rapport —
le coefficient de i soit positif, ce qui est nécessaire pour la formation des nouvelles fonctions Q (n^ 73). On en déduit les formules inverses
Lorsque cette condition est remplie, c'est-à-dire lorsque le système des deux périodes cùtpO)\ est équivalent au système cù,cù\ les quatre fonctions ô ont respectivement les mêmes zéros. Ceci est évident pour les deux fonctions désignées par d, (z); comme elles ont un zéro commun z = Oy tous les sommets des deux réseaux correspondants coïncident, et, par conséquent, les deux fonctions ont les mêmes zéros. Les trois autres fonctions jouissent de la même propriété; mais ce ne sont pas nécessairement les fonctions homologues qui ont les mêmes zéros; cela dépend du choix des nombres entiers a, 6, a\ l/. Reinarquons d'abord, en vertu de la relation ab'— ba!=iy que, de ces quatre nombres, deux au moins sont impairs, savoir a et b\ ou b et a', et que les quatre ne peuvent être impairs. Remarquons ensuite que les nombres a-ha^b-hb' ne peuvent être tous les deux pairs; car les deux nombres a et b\ par exemple, étant impairs, il faudrait que les deux autres a' et b le fussent aussi, ce qui est impossible. En outre, des trois nombres a, a\ a + a', deux sont impairs, un pair; de même, des trois nombres 6, b', b + b\ deux sont impairs, un pair. 11 résulte de là que les trois quantités
— = rt- 4-6— j -L=:a' - -{- b' - j L— (a-f.<iM - -4-(ft4-ftMrL
sont respectivement égales aux quantités -» — ? - — ^> augmentées de
multiples des périodes o), (ù\ mais dans un ordre quelconque, et, par conséquent, que les trois fonctions O2, 0, d, dans les deux systèmes ont les mêmes zéros. Supposons, par exemple, que a et b' soient des nombres impairs, b et a' des nombres pairs, on aura
0)i ff) w, (Mi' fi)i H- w, r,) -4- &)'
dans ce cas, les fonctions homologues ont les mêmes zéros. Mais si a
FX)NCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 263
et V étaient pairs, h et à impairs, on aurait
o)| 0)' &)', 0) Wi -f- &)', w H- «'
la fonction $2 de chaque système aurait les mêmes zéros que la fonction d de Tautre, les deux fonctions d, ayant d*ailleurs les mêmes zéros.
Cela posé, désignons, d'une manière générale, par 9 (z) une fonction du premier système, etpar ip(z) la fonction du second système qui a le^ mêmes zéros. Une fonction intermédiaire, c'est-à-dire satisfaisant aux relations (1) du n^ 146, par rapport aux périodes a>, ci>', satisfait évidemment à des relations de même forme par rapport aux périodes équivalentes ci>i, ci>', . Il résulte aussi de la formule (8) du n° 147, qui représente toutes les fonctions de cette espèce, que le rapport de deux fonctions intermédiaires, qui ont les mêmes zéros, est une exponentielle de la forme Ce^'''^*''. Ce rapport étant ici une fonction paire de 2, le coefficient B est nuU et Ton a
Déterminons maintenant la constante Â. De cette relation on déduit
Dlogij^(z) = 2A2 4-Dlog9(z), Dlogij;(z-+-w,) = 2A(z -4- wi) -h Dlog<p(« -+-«,),
D log -i-^ —^ = 2 Aw, -f- D log ^ , , :
mais, en vertu des relatious (10) et (12) du n*^ 75, on a
D log , , , =0, D log , ^ — = ;
on en conclut A = — ? et, par suite,
Alt z*i
(3) <j;(z) = Ce — 9(«).
Wi
171. Parmi les systèmes de périodes équivalents au système primitif {(ùf ci>'), nous considérerons en particulier le système rO| = — (ù\ (ù\ = Cl), que Ton obtient en faisant a = o, è = — i , a'= i , 6' = o ; on a alors
Les deux fonctions 9^ ont les mêmes zéros, ainsi que les deux fonctions di; la fonction 6 de chaque système a les mêmes zéros que la fonction Q^ de l'autre. Nous désignerons par la lettre d les nouvelles fonctions ainsi obtenues, et nous disposerons les indices de telle sorte que les fonctions 0 et d, qui ont les mêmes zéros, soient affectées du même indice. Si donc on appelle 6| la fonction analogue à Q, et formée avec les nouvelles constantes» savoir :
on posera, comme au n° 74,
On peut appliquer aux fonctions d les formules et les relations établies pour les fonctions d, en mettant — a>' et c») à la place de &> et ci>', et en ayant soin de remplacer 6 et 9^ par ^2 et d. Si l'on appelle p la
«W't I «Wl
quantité e""' = e "' , analogue à la quantité q, et ayant comme celle-ci
266 LIVRE IV. - aiAPITRB 01.
d'un facteur constant, les seules qui satisfassent aux relations précédentes.
On a aussi
(lO)
(\ »mxsi
>nÊKzi
*-t- mû)) ={—!)"/>—*« "' 5,(2); •». (a + y) =•*'(')•
, / w + oA f ^^, ,
173. En vertu de la relation (3) du n"^ 170, les deux fonctions 9, (z), d) {z), qui ont les mêmes zéros, satisfont à la relation
ICX'l
5,(z)=Cc~'9,(ii).
En remplaçant z par a + -» z + — » 2 + » on en déduit
Les formules (18) du n^ 76» qui définissent les fonctions elliptiques^ deviennent
On en déduit
^,(0) yrr 3(0)
et Ton a
«=• n=- «=- fumV
Le module ^ et le module complémentaire k' sont exprimés en fonction de p au lieu de Tétre en fonction de q. Le multiplicateur g est donné par la formule
Nous déterminerons plus tard la constante G.
168 LIVRE lY. - CHAPITRE IV.
