CHAPITRE IV

SUITE DES FOirCTIONS DOUBLEMEITT PÉRIODIQUES.

Remarques sur tes réseaux.

174. Considérons le réseau construit sur les périodes &>, .g)% et dont les sommets correspondent aux valeurs s = mtù + m'o)'» m et m' étant des nombres entiers quelconques; si l'on a

^ û =r aw 4- 66)', i2' = a' ù) H- 6' «',

a, b, a! 9 V étant des nombres entiers tels que le déterminant ab' ^ha' soit différent de zéro, ce qui revient à supposer que les points 0» Q! ne sont pas en ligne droite avec l'origine, il est évident que les sommets du réseau construit sur les périodes £i^ Q! coïncident avec certains sommets du premier réseau. Le rapport de l'aire du parallélogramme (Û, Q!) à celle du parallélogramme (ci), cù') est égal au déterminant ±{aV-ha;).

On peut remplacer le système des deux périodes c>), cù' par un système équivalent (ù^^ (ù\^ de manière que les deux formules précédentes se réduisent à la forme simple

car si l'on pose

û) = mû)|-f- nw', , (ù' = m'(ùi h n'(ù\f

on a

i2 = (am4- ftm')û)i4- (an -+- 6»' )&>',, û' = (a'm-h 6'm')w,-f- (a'n 4- ft'n')©,.

On choisira deux nombres entiers n et n' premiers entre eux, satisfaisant à la condition an-h bn'= o, puis deux nombres entiers m et m!

FONCTIONS DOUBLEBŒNT PÉRIODIQUES. 209

satisfaisant k la condition mTt! — nm!= db i. On peut même supposer que les nombres entiers a, et 6\ sont positifs, sans quoi on changerait les signes des périodes. La valeur absolue du déterminant, qui est ici a^V^j n'a pas changé.

Soient OACB {fig. 69) le parallélogramme (&)o (o'J, ODFE le parallélogramme (t2, Q!) ; le parallélogramme 0DH6, dont les sommets D et G

sont les points z = a^cù^^ z = h\ (ù\ , est l'assemblage de a, b\ parallélogrammes du premier réseau. Il y a donc» dans ce parallélogramme, a^b\ points homologues d'un point donné, par rapport aux périodes c>)|, o)'^; mais les points du triangle DHF sont respectivement homologues de ceux du triangle 06E. On en conclut que , dans le parallélogramme ODFE, il y a aussi atb\ points homologues d'un point donné.

175. Considérons maintenant deux réseaux (a>, g)'), (d),, ùï\) et supposons que, parmi les sommets de ces deux réseaux, plusieurs coïncident; si trois non en ligne droite coïncident, il y en aura une infinité, qui formeront un réseau> dont nous désignerons par Ci, iï un système de périodes élémentaires. On aura les relations

iQ z=a(ù -h b(ù' = aïO), -4- 6iCr)',, i2' = a'o) -f- 6V = a'. w. + b\ «', ,

que l'on pourra réduire à la forme

i2' = o'w + 6'«'=: ri', w, -*- 6>',,

en transformant chacun des systèmes proposés en un système équivalent.

Les déterminants sont alors N = ah\ N« = a^ b\ . Cherchons les caractères auxquels on reconnaîtra que le réseau (û, Q') comprend bien tous les sommets communs aux deux réseaux proposés. 11 faut d'abord que les nombres entiers a et a^ soient premiers entre eux; car» s'ils avaient

un plus grand commun diviseur d, les sommets du réseau f^i ÛM* qui

est formé de parallélogrammes d fois plus petits que ceux du réseau (Î2, Qf), seraient communs aux deux réseaux proposés. Cette condition étant remplie, supposons qu'il y ait» dans le parallélogramme (û, Cï), un ou plusieurs sommets communs; on pourra choisir l'un d'eux û', de manière que le réseau (Û, il") comprenne tous les sommets communs» et l'on aura

l'aire du parallélogramme {ù, ii') étant n fois celle du parallélogramme {Cl, Q"). On en déduit

ma -+- na''= a! y nuix -f- nct^ = a', , nb''=b\ nb\ = b\.

Les deux dernières relations montrent que n doit être un diviseur commun de V et b\ ; elles donnent les deux nombres entiers h" et b\. Les deux premières relations peuvent être remplacées par les suivantes :

m{a(f^— a,à' )^^ a' ct^— d^a" y n(ad^'-' axa" ):=r= aa\-- a^a' .

Le nombre aa\ — a^ a" doit être divisible par n; soit h le quotient; de l'équation cui\ -- a^a!'= hy dans laquelle a et a^ sont premiers entre eux, on déduira des valeurs de a" et a\ de la forme a"=hgy a\ = hg^, les nombres g et ^i satisfaisant h la relation ag^ — a«^ = i; l'autre équation donnera ensuite m = a'g^ — a\ g. On conclut de ce qui précède que, pour que le réseau (0, Q!) soit un réseau élémentaire des sommets communs aux deux réseaux proposés, il est nécessaire et il suffit que les deux nombres a et a^ soient premiers entre eux, et que le plus grand commun diviseur des trois nombres b\ b\ , aa\ — a^aC soit égal ^ l'unité.

formules (3) et (4) sont

pq'--z^a,b\kh'=kh'li,, p,q\=ab'kh' =*A'N.

Le parallélogramme (e, ^) sera le plus grand possible, si l'on fait h'=i,k = i; les déterminants sont alors respectivement égaux k N| etàN.

177. Théorème XIY. — Deux /onctions meromorphes doublement périodiqueSf dont les réseaux ont un réseau de sommets communs, sont liées par une équation algébrique.

Soient u =/{z)f (; == F (z) deux fonctions de z, meromorphes dans toute l'étendue du plan, doublement périodiques, d'ordres n el n,, et ayant pour périodes, la première a> et cù\ la seconde oi>i et <à\. Noos supposons que les réseaux relatifs à ces deux fonctions ont un réseau {Cl, Q!) de sommets communs. L'aire du parallélogramme (Û, Cï) est égale à N fois celle du parallélogramme {(ù, ci>'), et à N, fois celle du parallélogramme (a>i, co'J. A une valeur de a, finie ou infinie, correspondent n points z dans chaque parallélogramme (ci>, a>'), et, par conséquent, /iN points dans le parallélogramme {H,Cï). A cette valeur de u correspondent donc, dans toute l'étendue du plan, /iN séries de valeurs de z de la forme zj^-h mQ -h m'Q'; mais aux valeurs de z d'une même série correspond une seule valeur de c^. Ainsi, à chaque valeur deu, finie ou infinie, correspondent nN valeurs de v.

Si l'on figure la variable u par le mouvement d'un point sur la sphère, il est aisé de voir que la fonction ç de u n'a, sur toute la sphère, pas d'autres points singuliers que des pôles ou des points critiques algébriques* Lorsque les n valeurs de z qui, dans un parallélogramme (u, a>'), correspondent à une valeur u^ attribuée à u, sont racines simples de l'équation /(z) — i/| = o, chacune d'elles est une fonction holomorphe de u dans le voisinage du point u^ ; si aucune des nN valeurs de z situées dans le parallélogramme (û, ù') ne coïncide avec un pôle de la fonction F(z), les nN valeurs de v seront finies, et chacune d'elles sera une fonction holomorphe de z et par conséquent de u dans le voisinage du point «1 . Lorsque l'une de ces nN valeufs de z, que nous

correspondent à la valeur u'=o sont les pôles de la fonction /(z); mais rien n'est changé dans le raisonnement: le point u!=o, par rapport à la fonction v, est, ou un point ordinaire, ou un pôle, ou un point critique algébrique.

Nous venons de démontrer que p est une fonction de li, n*ayaDt, sur toute la sphère, aucun point singulier autre que des pôles et des points critiques algébriques; elle n'admet d'ailleurs, en chaque point» qu'un nombre limité de valeurs. On en conclut, d'après le théorème du n^ 135, qu'elle est une fonction algébrique de u. L'équation algébrique qui lie les deux variables u et (^, mise sous forme entière, est en général du degré nN par rapport a p^ et du degré n|N| par rapport à u.

178. Remarque. — 11 peut arriver que l'équation entre uety s'abaisse k des degrés sous-multiples de /i|N| et de nN. Nous avons vu qu'à une valeur u^ de u correspondent nN valeurs de z, abstraction faite des multiples de Cl et de SI'; désignons-les par z^, jss,...; les nN valeurs correspondantes de f^, que nous appellerons v^^ (^29*--» sont des fonctions holomorphes de u, excepté dans le voisinage des pôles ou des points critiques. La différence de deux valeurs de(^ est aussi une fonction holomorphe de u, avec les mêmes restrictions. Supposons que les i valeurs f'i, ^2,..., ^A restent égales entre elles, lorsque la variable u se meut dans une petite étendue; chacune des fonctions t^s—f^i,!^,— Pi,...» Ta— (^i étant nulle dans cette étendue, sera nulle dans tout le plan (n^ll4), et par conséquent les k branches v^ (^2«-<*> ^V de la fonction ç coïncident pour toutes les valeurs de u. On peut faire décrire à la variable u une courbe fermée, telle que la valeur z^ se change en une quelconque za+i des valeurs de j3 n'appartenant pas au premier groupe 24,^2, ...,2^; les autres valeurs de ce premier groupe se changeront en ^^«4.21 ^a+s» • • • » ^sa- Les A: branches v^, (^a,..., vm coïncident toujours pendant ce mouvement; on en conclut que les k branches Ta^.,, f'A+2»-*» ^2a de la fonction coïncident aussi. Ainsi les /iN valeurs de (^ se partagent en groupes composés chacun de k valeurs égales entre elles, ce qui exige que le nombre k soit un diviseur de /iN.

Inversement, supposons qu'on donne à la variable i^ une valeur quelconque, Vt par exemple; parmi les /I4N1 valeurs correspondantes dez se trouvent les k valeurs jZ|,z,,..., Zf, considérées précédemment et

FONCTIONS DOUBLEBŒNT PÉRIODIQUES. 275

auxquelles correspond la même valeur u^ de u. Aucune des autres valeurs de z ne donne la même valeur de u; car^ si a la valeur z^^+i correspondait aussi la valeur u^ , à cette valeur Ut correspondraient plus de k valeurs de z donnant la même valeur t^i de v. Il en résulte que les n^ N^ valeurs de u qui correspondent à une même valeur de {^ se partagent aussi en groupes composés chacun de k valeurs égales entre elles, ce qui exige que le nombre k soit un diviseur de ^«Ni. L'équation s'abaissera donc au degré -ç par rapport à i^, et au degré -rr^ par rapport à u.

179. Théorème XV. — Longue les deux fonctions sont paires ^ Véquation algébrique à laquelle elles satisfont s'abaisse à des degrés moitiés.

Remarquons d'abord qu'une fonction doublement périodique paire est d'ordre pair; car, si l'on considère le parallélogramme élémentaire dontrorigine est le centre, les valeurs de z qui correspondent à une même valeur de u, étant égales deux à deux et de signes contraires, seront en nombre pair dans ce parallélogramme. Nous avons formé les réseaux avec les points homologues de l'origine. Concevons maintenant que l'on forme les réseaux avec les points homologues du point

z^= '- — ; alors le centre du premier parallélogramme (fl, Q!)

coïncidera avec l'origine. A une valeur de u correspondent n points z dans chaque parallélogramme (ci), 6/) et par conséquent nN dans le parallélogramme (û, û'), qui a pour centre l'origine; ces points étant

nlV

deux a deux symétriques par rapport à l'origine, on n'a que — valeurs de V. De même, a chaque valeur de v correspondent — — '- valeurs de u. Ainsi l'équation algébrique est du degré — par rapport à i^ et du de-

gré — — '• par rapport à u.

180. Théorème XVI. — Deux fonctions méromorphes paires et doublement périodiques du second ordre, dont les réseaux ont un réseau de sommets communs^ sont liées par une équation algébrique dont chaque membre ne contient que l'une des variables et est une fraction rationnelle de cette variable.

276 UVRB IV. - GHÂHTRE IV.

Les deux réseaux (a>, eo'), (a>i; ci>| ) ayant un réseau (Û, &') de sommets communs, il existe plusieurs réseaux (c, €') dont les sommets des deux réseaux proposés fout partie (d^ 176). Gousidérons le plus grand d'entre eux; les aires des parallélogrammes (ca, a>'), (eoi, q\ ) sont égales respectivement à N^ fois et à N fois celle du parallélogramme (c, e'). Désignons par w une fonction méromorphe paire, admettant les deux périodes 6 et s'y et du second ordre. Les réseaux (q, (ô')^ (c, e')» relatifs aux fonctions u et w^ ont pour sommets communs précisément ceux du réseau (o), (ù'). Il résulte du théorème précédent que Téquation entre çf^ et u est du premier degré en w et du degré N| en u; on en conclut

que w est une fraction rationnelle en u du degré N|, et Ton a (^ = ^9

U et U| étant des polynômes entiers en u du degré N|. De même, w est

une fraction rationnelle en ç du degré N et Ton a «p' = y > V et V| étant

des polynômes entiers en y du degré N. L'équation cherchée est donc de la forme

Remarque. — Nous avons supposé que les fonctions u et i' du second ordre sont paires. Remarquons que toute fonction doublement périodique du second ordre peut être rendue paire par l'addition d'une constante à la variable. Soient a et ^ les deux infinis de la fonction

M=/(js), on a

et par suite

En désignant par a^ et jS^ les deux infinis de la fonction ç = ¥{z)t on a de même

La relation entre les deux fonctions paires / (^-^ H- « ] > F y ^ ^' -f- zj a la forme indiquée précédemment. Si Ton remplace ensuite z

parjs — - — -> la relation aura lieu entre les deux fonctions /{z)^ F (a -h A), la lettre h désignant la constante ^'"^*^' — - — --

181. Thiîorème XVII. — Une jonction doublement périodique et sa dérivée sont liées par une équation algébrique.

La fonction u ==/{z) et sa dérivée u'=/'(z) ont les mêmes périodes ci>» (ù\ et, par conséquent, le même parallélogramme élémentaire; si n est Tordre de la fonction proposée, nous savons (n° 151 ) que Tordre n' de la dérivée peut varier de n + i à 2n. Les deux fonctions u et u' sont donc liées par une équation algébrique

dont il est facile de déterminer le degré. La fonction inverse est représentée par l'intégrale définie

du.

dans laquelle u' est une fonction algébrique de u donnée par Téquation (6). Cette intégrale a été étudiée dans le Chapitre lY du Livre III; nous avons vu qu'a chaque couple de valeurs de u et u' cori^espond une valeur de z augmentée de multiples des périodes. Ces périodes sont les valeurs de l'intégrale définie relatives aux cycles, c'est-à-dire aux courbes fermées qui ramènent le même couple (ii, u^); ici les périodes se réduisent à deux. Puisque les valeurs de z qui correspondent à un même couple (u, u!) différent entre elles de multiples des périodes, il est impossible qu'en deux points z situés dans un même parallélogramme élémentaire, la fonction u et sa dérivée u' aient respectivement les mêmes valeurs. On en conclut que la dérivée u' acquiert n valeurs différentes aux n points z qui, dans un parallélogramme élémentaire, correspondent à une valeur donnée de u^ et que, de même, la fonction u acquiert n' valeurs différentes aux n' points qui correspondent à une valeur donnée de u\ L'équation (6) est donc du degré n par rapport a u' et du degré n' par rapport à u.

La dérivée v! ne devenant infinie pour aucune valeur finie de u, le coefficient de ii'" est constant et l'équation (6) se met sous la forme

(8) w'^-f- U.m'»-' -h Ujw'"-^--h . . . 4- U. = o,

Uo Us,..., Ua désignant des polynômes entiers en u^ dont les degrés ne peuvent surpasser rt! . La somme des n valeurs de ^ ou de -79 qui correspondent à une même valeur de u^ étant nulle (n® 164), le polynôme U;,i est nul.

Si l'on pose

M— -f c'=-j-î dOU tt'=- ;»

V az v'

l'équation (8) devient

cette relation entre la fonction doublement périodique ç et sa dérivée i^ devant avoir pour coefficients des polynômes entiers en {^^ il est nécessaire que les polynômes Uo U,,..., U;,» qui entrent dans la première équation,, soient au plus, le premier du second degré, le second du quatrième degré,*.., le dernier du degré 2n. Le théorème du n^ 158 est un cas particulier du précédent.

182. Théorème XVIU. — Étant donnée une fonction méromorphe doublement périodique u=f[z)^ de l'ordre /i, aux périodes élémentaires w, 0)', toute autre fonction méromorphe qui admet ces deux périodes s'exprime rationnellement au moyen de la première fonction et de sa dérivée.

Nous avons vu que la fonction u et sa dérivée u' sont liées par une équation algébrique

du degré n par rapport à m, et que, aux n points jz^, z^,..., z„ qui, dans un même parallélogramme élémentaire (w, &>'), correspondent à une valeur donnée de u, la dérivée u' acquiert n valeurs différentes u[ , u^ ,. . . , a^, qui sont les n racines de l'équation (6). Nous savons aussi

qu'une autre fonctiou inéromorpbe 9 de jz, qui admet les périodes go, a>^ est liée à u par une équation algébrique, qui est, en général, du degré n par rapport à v. Désignons par v^^ ('a»---» ^n les valeurs de v aux points Z4, Z2,..., Zn^ ces valeurs correspondent respectivement aux racines u\, i/,,..., u^ de l'équation (6), de sorte qu'à tout système de valeurs (u, u') correspond une valeur déterminée de v et une seule. Les fonctions vu\ t'a'*,..., i^a"^* jouissent de la même propriété; à chaque couple (11, u') «correspond une seule valeur de chacune de ces fonctions. Les sommes

V, -h Vi -+-...-+- v„ = P«,