C.a', -h 1^2 a', -+-...4- Vnlin =Pi

n'ayant qu'une valeur pour chaque valeur de u, sont des fonctions méromorphes de u sur toute la sphère : elles sont donc égales à des fractions rationnelles de u (n^ 129); nous les avons représentées par Po9 Pi»««-9 Pa-i- Multiplions les deux membres des équations (10) respectivement par A^^^, A„.29---) Ai^i, ajoutons les résultats, puis égalons à zéro les coefficients de ç^y ^s»*--» ^ji» ce qui donne le système des n — i équations

mV"» -h A,i/;"-* 4- \tu'^"-* -f- . . . -+- A.-jtt', 4- A»-, = o,

f 1 n i "'""* "^ A, «;»-*+ A.mV'-' 4- . . . -f- A.-.,a'3 4- A,^, = o,

Un"-' -I- A, m;"-' 4- AiU'n'^ 4- ... 4- A.-,ll'„ 4- A.-, = O,

l'équation résultante se réduira a

Les équations (i i) montrent que les quantités A^, A,,.. ., A^i sont les coefficients de l'équation du degré /i — i, qui admet pour racines u,, 1/3,..., u'„; on obtiendra cette équation en divisant par u' — u\ le

premier membre de TéquatioD (6), ordonné par rapport aux puissances décroissantes de a'; les coefficients du quotient, qui sont des polynômes entiers en u et u\ , donneront A|, A,,..., A||.|. De l'équation (la) on déduira ensuite l'expression de v^ par une fraction rationnelle en u et u\ •

Ce théorème comprend celui de M. Liouville (n^ 161) comme cas particulier. La démonstration exige que les périodes a>, «>' forment bien un système de périodes élémentaires de la*fonction u; mais cette condition n'est pas nécessaire pour la fonction y.

183. Théorème XIX. — Lorsque les réseaux de deux fonctions méromorphes doublement périodiques u et v ont un réseau, de sommets communs, dont le parallélogramme (£2, Q!) contient ^fois le parallélogramme élémentaire (o)» o)') de la fonction u, la fonction v est racine d'une équor tion algébrique du degré N, ayant pour coefficients des fonctions rationnelles de u et de sa dériçée u\

A chaque couple (u, u') correspond un point z dans le parallélogramme (a>» tù'), par conséquent N points dans le parallélogramme (il, ù') et y par suite, N valeurs de v. Toute fonction symétrique et entière de ces N valeurs de v est une fonction méromorphe de z, admettant les deux périodes b) et b)'; en vertu du théorème précédent, elle s'exprime rationnellement au moyen de u etde u'. On en conclut que V est racine d'une équation du degré N, ayant pour coefficients des fonctions rationoelles de u et u'. De cette manière, la résolution de l'équation entre u et v^ et qui est du degré /iN par rapport à l'inconnue i^ (n^ 177), est ramenée à celle de deux équations, la première du degré n en a', la seconde du degré N en v.

Dans nos premières recherches [Journal de l'École Polytechnique, i856), nous avions indiqué seulement la relation algébrique qui a lieu entre deux fonctions qui admettent les mêmes périodes. La considération du réseau formé par les sommets communs à deux réseaux proposés nous a permis d'établir les théorèmes qui composent ce Chapitre. La relation algébrique qui existe entre une fonction doublement périodique et sa dérivée a été remarquée par M. Méray vers la même époque.