CHAPITRE V

Méthode générale pour le développement d'une fonction en une somme

d^une infinité de termes rationnels.

184. Voici la méthode que Cauchy a déduite des propriétés des intégrales définies. Soit/(jz) une fonction méromorphe dans toute retendue du plan. Considérons d'abord la partie du plan enveloppée j)ar une courbe

fermée C [fig. 70), et à l'intérieur marquons un point quelconque t. La fonction •^-—j admet comme pôles ceux de/(z) et en outre le point/. D'après le théorème du n^ 120, l'intégrale définie

i rf(z)

ni J z — t

dz

relative a la courbe G est égale au résidu relatif au point / et à la somme des résidus relatifs aux pôles a de la fonction f{z) situés à l'intérieur de la courbe C. Le premier résidu étant égal à/(/)9 on a

Concevons maintenant que la courbe C s'étende indéfiniment dans tous les sens, et qu'elle soit choisie de telle sorte que le module de la fonction f{z) sur cette courbe reste moindre qu'une quantité finie M, si c'est possible. Puisque

—^, = -(1 — ) =- 14-^(1 4- e) L z — t z\ zj ^L ^ J

î tendant vers zéro, quand z augmente indéfiniment, on a

Il est aisé de voir que la dernière intégrale tend vers zéro, quand la courbe C s'étend à l'infini; car, si l'on pose z = re^\ il vient

/ -^-^-^^ ^dz^. /(^){,.ue)^»'--f.| / /(z) i4-e)«-*'— .

J(C) ^ •/(€) ^ Jo r

Si l'on désigne par e^ le maximum du module de e et par r^ le minimum de r

sur la courbe, le module du dernier terme est moindre que '^ — ^)

et, par conséquent, ce terme tend vers zéro, quand r^ augmente indéfiniment. Supposons que la courbe C soit composée d'un nombre fini d'arcs tels que sur chacun d'eux le rayon r aille en augmentant ou en diminuant; la partie qui, dans la première intégrale du second membre, se rapporte à l'un de ces arcs, sur lequel r croît par exemple de r' a r", a un module moindre que

cette intégrale tend donc aussi vers zéro. Ainsi nous pouvons réduire

riDtégrale (3) à sa première partie