SA
Développement de -.- - et de
sinz
cosz
185. Les pôles de la fonction . - sont distribués uniformément
sur Ox {fig. 71). Prenons sur cet axe des longueurs 0A=0A'=^/n'7r h- -
et mv Taxe Oydes longueurs QiQ = OW=y^\ parles points A et A' menons des parallèles a 0/ et par les points B et B' des parallèles a Ox^ de
Fig. 71,
manière à former le rectangle EFGH. Les pôles situés dans ce rectangle
sont représentés par la formule a = rrni^ m variant de — m' à -4- m'.
Nous intégrerons suivant le contour du rectangle et nous ferons ensuite augmenter indéfiniment le nombre entier m! et la longueur y^^ afin d'étendre à l'infini le contour du rectangle. Sur les côtés FG» HE, on a
z= ±L f /w'tt -h - j -f-71, et par suite
sinz
cosri ""^ *^ er-i e-r^f ^^ (y ^yy
le module de r- — est plus petit que Tunité. Sur les côtés GH, EF, on a
sin z ^ e=P7i+*'-- c*/ -"'
le module de -: — est infiniment petit. On peut donc réduire Tinté-
grale (2) à sa première partie (3). D'autre part» la fonction -r^ étant
impaire, cette première partie est identiquement nulle. Ainsi l'intégrale définie tend vers zéro.
Le résidu relatif à l'un des pôles a = mn est
/ — mu <^ sin z l — mn'
L'équation (4) devient donc
sm / ^ l — mn
sm
et, en remplaçant t par z,
mz=. -fin'
(5) -^:^lim >
^ ' sinz ^ z — mn
nf= — m'
En groupant les termes qui correspondent à des valeurs de m égales cl de signes contraires, on obtient la formule connue
sm Z z ^j z^ — //i'tt'
Si dans l'équation (5) on remplace z par z + -> il vient
(7) >J^iim S -
^ ' ' cosz ^a
Nous avons ajouté un terme infiniment petit a la droite de la série, celui qui correspond à /n = i7)'+i» afin d'avoir autant de termes d'un côté que de l'autre. Le groupement des termes conduit à l'expression
Développement de coiz et de tangz.
186. Les pôles de la fonction impaire cotz sont les mêmes que ceux de-: — -, on intégrera suivant le même rectangle. On reconnaît aisément que sur les côtés FG, HË le module de cotz est plus petit que i , et que sur les deux autres côtés il est très-voisin de i . On peut donc réduire l'intégrale à sa première partie qui est identiquement nulle. Le résidu relatif au pôle a = mn étant
J COl«= ■;
l'équation (4) devient
in=^m'
COI / — lim \ : \
^ /— mn
(9) col^=lim > — î — =A-f-^z > -; — î— ^—
in=i — m' mai
En remplaçant z par z -h - et ajoutant un terme infiniment petit, on en déduit
(lo) tangz ~ - lim \ = nz \
mz^-m' -3— (2/W— l)- nt^x (2m — 1)^-7- — Z'
Développement (Tune fonction doublement périodique en une somme
d'une inanité de termes simplement périodiques.
187. Une méthode analogue a celle de Caucby pour le développement en sommes de termes rationnels nous permettra de traiter la question. Considérons d'abord une fonction de Tordre 2/1, aux périodes ao), té' 9 satisfaisant à la relation /(z + ci)) = —/(jz), et ayant n infinis a^ dans le parallélogramme ABDC {fig. 72)» dont le sommet A est un point arbi-
traire Zo et les deux sommets B et C les points z^ 4- «, So -1- w'. Formons le parallélogramme EFGH, dont les sommets E et H sont les points Zq — m'(ù\ Zo -t- m'(ù\ et les sommets F et G les points js© -+- w — m'(ù\ j3o 4- « 4-/n'c«)'; ce parallélogramme est la réunion de am' parallélogrammes égaux au premier. Les infinis situés dans le parallélojs^ramme EFGH sont représentés par la formule a :=^ «^ h- mw', m variant de — m' a m'- 1 . Marquons un point quelconque / à l'intérieur du grand parallélogramme. La fonction
sm - (z — /)
admet la période on ; ses pôles sont le point t et les points a= aj^-^mtù'. D'après le théorème de Cauchy, l'intégrale définie
TTI f . TT
/ sm -
relative au contour du parallélogramme EFGH, est égale à la somme des résidus relatifs aux pôles situés dans ce parallélogramme. Les deux côtés FG, HE donnent des résultats égaux et de signes contraires; sur les côtés EF et GH, la fonction/(z) ayant une valeur finie, et le module du dénominateur devenant infiniment grand avec m\ Tintégrale définie a une valeur très-petite. Ainsi, quand m! augmente indéfiniment, Fintégrale définie tend vers zéro, et par conséquent la somme des résidus
est nulle. Le résidu relatif au point i étant —/(/), on a l'équation
(.,) /(/)..^iimyx — -ni
Si la fonction proposée n'a que des infinis simples, l'équation précédente devient
m — <o A = Il
m=-« A-r sin- {t — a — mw')
Ak désignant le résidu de /{z) relatif à a^. La série est convergente dans les deux sens. Cette égalité est démontrée pour tous les points / situés dans la partie du plan comprise entre les parallèles indéfinies EH, FG; les deux membres changeant de signe quand on remplace / par / + 0), l'égalité est vraie pour toutes les valeurs de t. Ainsi Ton a, dans toute l'étendue du plan,
m=-« A=i sin~ (z — a.— mci)')
Supposons que la fonction proposée ail dans le parallélogramme ABDG
288 LIVRE TV. -^CHAPITRK V.
un infini multiple «^ du degré/?; Tinfini a = «^-4- mf./ sera du même degré. Posons z = a -h z\ nous aurons à chercher le résidu de la fonction
^ /(«A -4- Z') COSéc -(/-«- Z').
Si Ton développe en série, il vient
/(«A -f- ^') r-- ^ H- ^ -+- . . . 4- ^ 4- . . . , j \ ' Z f zf" z
coséc * (/- -a— s') rrt coséc- (^ — a) D,coséc- (/ — «)-+-...
^ (— ly-' ^^ Ty"' coséc- (/ — «)-+-...,
i.:2i...(i; — I) ' Gi)
et le résidu cherché est
Aï coséc -(/- a) - — D,coséc-(/-a) + . ..-+-(-!)/-' ^- :Dr' coséc -(/-«)
On obtient ainsi l'équation
(i3) A^)--^^ y yrAîcoséc^(s-a,-mr.)')-:^D.cosér^^(2 — a,--moi')
• f -DÇ"'coséc-(z- «A -mw')
188. Considérons maintenant une fonction doublement périodique quelconque/(z), aux périodes co, o)', et ayant n infinis ol^ dans le parallélogramme ABDC, dont nous nous sommes servis dans le numéro précédent. La fonction
lang - iz - O
admet la période co. L'intégrale détinie
air' ■
tang-(2-')
relative au contour du parallélogramme EFGH, est égale a la somme des résidus de la fonction pour les pôles situés dans le parallélogramme, c'est-à-dire pour le point / et les points a = a^'h mw', m variant de — m' à m'—i. Les côtés FG, HE donnent des résultats égaux et de signes contraires. Si l'on désigne par z un point de la droite ÂB, les points homologues de GH et de EF seront z -f-m'w', z — m'(ù\ et les parties de l'intégrale relatives a ces deux côtés seront
j. f /(,) r î ! 1 dz.
^^' *^AB tang ^(3 - / — m'w') ung ^ (z - / -+- mV) I
Lorsque m'augmente indéfiniment, la première tangente tend vers — i, la seconde vers i, de sorte que l'intégrale définie tend vers une limite ' égale a l'intégrale rectiligne
n^-£ f(z)dz,
suivant la droite ÂB. Le résidu de la fonction relatif au point / étant - f[t)^ on a l'équation
(,4) f(t)^ — ^-^hm 2^ r
^^*^lang-(/-2)
Si la fonction n'a que des infinis simples, l'équation précédente devient
m=-« t^i lang-(/ — «A — mw')
Aa désignant le résidu de f[z) relatif a a^. La série est convergente dans les deux sens» k cause de la relation VAa = o (n® 14-8);
car on a
\ AaCOI -(/ — a^—ma/) = \ A* col - (/ — a^— mw') — coi - (^ — mw') 1
i^" AaSio — =
i^sin -(/ — m« )sin- (/ — a.— mw')
Les deux membres de l'équation (i5] admettant la période ca, Fégalité est vraie pour toutes les valeurs de /.
Supposons que la fonction /(z) ait dans le parallélogramme ABDC un infini multiple a^ du degré p; l'infini a = a^ + m(ù' sera du même degré. Posons z = a-h z\ nous aurons
iî^^yc^) coi ^ (/ - z) := ^/(«A-f- z') coi ^ (/ - « - ^r
Si l'on développe en série» il vient
col - (/ — a — z') = col - (/ — a) DrCOl - (/ — a) -h . . .
-H (-1)^- —^ . Df- col - {/- a)H-. . .,
et l'on aura le résidu cherché
'^lé „\ -^ïi^^^. ^.* „\ . / .^«-1 A,
Afcol^(/-a)-^D,coi-i/-a) -i-{-i/- ^ Df"' coi-(/ — a).
