I.2...(//— I) ' Oj

DËVELOPPEBŒNT DES FONCTIONS EN SOBIMES. 291

On obtient ainsi la formule

(,6)/(2j=:— -h- y yrAîcol-(2-aA-ma)')- — I>-cot-(z-a,-/na)')

W»-::— ao A

Développement des fonctions elliptiques.

189. Considérons les rapports des quatre fonctions 0 deux à deux; de ces douze rapports, huit satisfont à la relation/(z -h w) = — /(z), les quatre autres à la relation /(z-l- w) =/[z). Nous développerons les premiers par la méthode du n^ 185.

Commençons par les deux fonctions s4—l' Âf(' formons un parallélogramme EFGH ayant pour centre l'origine et pour sommets les points di - di (am'H-i)— -, les infinis de ces deux fonctions» ou les

zéros de 6^ (z), situés dans ce parallélogramme, sont représentés par la formule a = m w', m variant de —m'a 4- m'; tous ces infinis sont simples;

d'après les formules (la) du n° 75, le résidu de la fonction -gj-^ relatif

à l'infini mco' est|Jy\-, celui de la fonction ^, est (- iT |#^. On a donc

^'''' e,(z)~M e',(o) Zd . T,

m?-«sin - (z— mtù')

m = -« sin ~ (z — mo)')

En remplaçant z par l'une des quantités z-h-^z-h^^z

292 LIVRE ni. - CHAPITRE V.

on en déduit

(■9) ô.(z)- «ô:«»„2|.cosÎ(.-W)

^ ^ 0,(z)" û) e;(o) Zd TT

m = -• cos - (z — mû)')

g.(z)__ TT 0(o) Y î

m——»siï\ — \z — (am — Il — I û)L 2 J

i^o\ Mil- !I£Mb1 V (-T

^i.«sin

' * m=T.cos- I z— (an» — i)— I

^ m~«cos- z— (am — i) —

Pour développer la fonction z'— (' ^^^ admet la période w, nous appliquerons la méthode du n^ 186, en conservant le parallélogramme précédent. Nous remarquons qu'aux points homologues des côtés opposés EF, GH, la différence des valeurs de z étant égale à (a/w'-+- 1) w', la fonction/(z) acquiert des valeurs égales et de signes contraires; les valeurs de la tangente sur ces côtés étant à peu près =p i\ l'intégrale définie relative à ces deux côtés est infiniment petite; ainsi l'intégrale définie relative au contour du parallélogramme a pour limite zéro, et l'on a l'équation

m--m' lang -{z — mot')

On en déduit

m=zm.'

"' „.. ,„.lang-lz-(2TO-i)— J

fn-=nt'

, o. fl(«) iri Ô,(o) ,. V , , wf / >«'!

On obtient les constantes en remarquant que X'(o) r- 4= -^\\ d'où

(29) -;;7-rT — =) TwT-. = r^>

e'.(o) ^v/^ ^«f^' ffVÂ^ ®«(o) g^

Ces rapports donnent les développements des fonctions elliptiques

\{i)— T \^ i= Tj»

gtùh La . T^ï , X «' I

« ^f^.sm- |^z-(2m-i)-J

m -' itt

(32) v(z)=: — lim y

g^ Ld

tt/ ,. V (— 1>"

= m'iang^|^z-(2m-i)^|

Si Ton groupe les termes deux à deux, les séries (3o) et (3i) deviennent

(33) i(z).JiL^sinri£y

' ' gtsik w Ld

Lj 2 712

.47rV</,.^7:z Y ^-«(,4- g»"-)

T, I — 2 g*"-' COS h O*^*-')

msroB

,34, .,.)= i^ COS îf l ^- .)^'«1..^

** ;TTt I — 2g"^' COS h g»(»^')

La série (3:2) n*est pas convergente dans les deux sens; si de v(o) on retranche v(z), on obtient une série jouissant de cette propriété

(35) \—v{z)— -Sm > 7 ; Y —=, rz=

" w = - oD sin — sin -I z — (2m— i)— I

OU plus simplement

(36) I— v(z)= — sm* — > ^

g(ù w Aa ,.^, 2 7:z ,/,.^n

^ m = , I — 2a**-' COS h fl*(»"-')

Second mode de développement.

190. Des développements des rapports des fonctions 6, on peut déduire immédiatement ceux des rapports des fonctions d deux à deux; il suffit» comme nous Tavons remarqué au n^ 171» de remplacer co et a>' par — w' et w, y par/?, 0 et Ô2 ps^r ^2 et &> ^i et 9, par S, et S,. Ainsi les équations (26)» (20)» (19) se transforment en les suivantes :

5,(Z) JT 5,(0) V (-')"

,,„> ■?,(Z) JT 5,(0) Y

m=--« cos — 7 (z — mw)

m:=oo

m= -« cos — ; (Z — m(ù)

or ^

On modifie la formule (37) en y faisant z = o et retranchant le résultat; ce qui donne