z) TT ^(o)^.^7rz Y (-ï
^ ' m=-.C0S 7- cos -7 (Z
— mûi)
Les constantes ont pour valeurs
^'.(o) igsjk ^'.(oj ig^V' ^\{o) ' igylkk'
On en déduit d'autres expressions des fonctions elliptiques
(42) y<{z]=L ^sin^ >
m^« cos cos -T (2 — mo))
m tr: «
(-ir
" m=-« cos — , (z — mw)
" m=-« cos — : (Z — mw)
Développement des fonctions ^ ^^ 5 *
191. Les méthodes précédentes peuvent être appliquées au développement des fonctions â 6t-- La fonction
sm -(z — ^)
admettant la période o<) et devenant infiniment petite sur les côtés EF, GH du parallélogramme employé dans les deux numéros précédents» Tintégrale définie a pour limite zéro. Pour avoir le résidu relatif au point a = mw', on posera z - mw'H- z\ d'où
"xmytz'i
(— ij'-g-'e " ^
le résidu cherché est
' sm -(/no/— 0
Ck)
206 LIVRE IV. — aiAPTTRE V.
On a donc Téquation
^^^^ 6.(2) "^ 0)9; (O) 2j . TT
i-ilrq'
m=-« sin -(z — ma/)
Si Ton remplace z par js h — > il vient
m=-<D cos — (z — moj ]
Pour développer la fonction g— > nous considérerons un parallélogramme EFGH ayant pour sommets les points =i: - ±: mf(ù\ La fonction
admet la période o» et a pour pôles dans le parallélogramme» outre le
point /, les points a = {2m — i) —, m variant de — (/w'— i) à m'. Cette
fonction ayant une valeur infiniment petite sur les côtés EF» GH, parce que d (z) est infiniment grande, l'intégrale définie a encore pour limite zéro, et Ton obtient l'équation
d'où l'on déduit
DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SOMBffES. 297
Si Ton groupe les termes deux k deux, ces séries deviennent
' ^ M sin — ^^ I — 9.q^ cos h g*"» I
ô;(T) '-^ .:;ê>) "^^i -•- ^ *=**'* ir Z ;-
I LUb - — m = i i -
27rz
-4- 20*" cos h Q*'"
27rZ
m~i I — 2 6f*"-» COS h flf»(»-»-')
^t I -+- 2 0*"-' cos h g'(""-')
Des formules (45), (46), (47)» (4^), on déduit, par la transformation habituelle,
in=-» Sln — ; (Z — OTW) W
»,=-• COS —Az — mw)
(55) ' ^ ;i5L y (,)^./'^)' COI IL L - (am - .) ^1
iit= »
Développement des fonctions D logô (2).
192. Les quatre fonctions Dlogd(z) sont impaires et admettent la
période tù. Nous les développerons par la méthode du n® 187. Occu-
UVBB IV. - CHAPITBB V.
pons-nouB d'abord de la fonction ï)\ogS{z). Gonsidéroos l'intégrale défîDÏe
relative au contour du parallélogramme EFGB {fig. j'i), qui a pour centre l'origine et pour sommets lespoiots ± - dzm'a'; les infinis situés
Ftg. ,3.
dans ce parallélogramme sont le point t et les points a = (afn+ i)— t m variant de — m' à m'— i. Les parties de l'intégrale relatives aux côtés opposés FG, HE sont égales et de signes contraires. Si l'on désigne par z un point quelconque de la droite A'A, menée par l'origine dans la direction n, les points homologues des c6tés ËF, GH soot s —m'tti', z+ m'w', et l'on a
D logfl(« - m'a' ] - ""''"' + D logfl (a), DIogfl(i-i-m'a>') = --^^^ +Dlos6{z); l'intégrale sur ces deux côtés est donc
^' . r D logflfa) fcoi- {8 - ( - m'a')- cot -{z-t-t- m'u>')\ dt "t'J i, L " w J
+ - / m' COI" (i — / — m'u') + coi-(a— ( 4-m't.)') rfï.
La seconde partie» que l'on peut mettre sous la forme
/n'sin — (z — t)
CCS 1- cos — (z— l)
tend vers zéro, quand m' augmente indéfiniment. Les deux cotangenles tendant respectivement vers + 1 et — i, la première partie se réduit à l'intégrale rectilignc
- Ç J)\o%B(z)dx,
qui est nulle, puisque la fonction Dlogd(z) est impaire. L'intégrale définie relative au contour du parallélogramme tend donc vers zéro, et la somme des résidus est nulle.
Le résidu relatif au point t est ~ Dlogd [t)\ celui relatif au point
a = f2m-}- 1) — est
/ DlogÔ(«);
mais d'après le lemme du n^ 121, le résidu de la fonction Dlogd [z) est égal au degré du zéro de la fonction 6(2)» c'est-à-dire à l'unité. On a donc
(5,) DIoge(z)=:?lim;^ .r ' ^'
et, en groupant les termes deux k deux^
(58) DlogeCzJ^-^sin^i^;
En remplaçant z par z+ -9 on en déduit
(59) Dloge,(a)^:^llin ^ tang^ [z - (a/»-Hi)^]
/(f = CD
— 4ir . 2irz V» ç*""'
(60) DIog0,(2)=— Î^sin^-V
27tZ m" I 4- 2flf»-'C0S h g»<*'-')
Si dans l'équation (57) on remplace z par js h — ? on obtient Texpression
lang - ( s — mw')
que l'on peut écrire sous la forme
(61) Dlog0,(z)^ -lim y î ,
«, = -m'lang- (z — mw')
car le terme ajouté à la somme^ celui qui correspond k m:=. m'f a pour limite 1; si Ton groupe les termes deux à deux, il vient
— — }-4sin^— y
lang — m=. I — 2
En remplaçant z par z + - 9 on en déduit enfîn
(63) Dlog9,(2) — -^- lim V lang - (z mw'),
64) I)log9,(2- :-=-- lang— +4sin^^y- -
;;r^, I : 2^»"cos 1- <!'
Des formules précédentes on déduirait immédiatement celles qui se rapportent au développement des quatre fonctions Dlogd(z].
