f- Ij -ro
Mais si le quotient a des signes contraires pour Iq et /«, on a
le signe -+- correspondant au cas où la quantité ^ est positive, le
signe — à celui oii elle est négative. D'une manière générale, les deux indices I et I, satisfont à une relation de la forme
dans laquelle € désigne un nombre égal à zéro, à + i ou à — r.
Il résulte de là que Ton peut exprimer l'indice de la fonction i^r à
l'aide d'une somme de termes analogues à ê, et de l'indice d'un dernier quotient dont le diviseur ne contiendra plus la variable /, indice évidemment égal à zéro. Pour fixer les idées, supposons que X soit d'un degré plus élevé que Y, et, pour l'uniformité des notations, représentons ce dernier polynôme par X|. Effectuons la division de X par X|, jusqu'à ce que nous arrivions à un reste d'un degré moindre que celui de Xi; appelons X, ce reste changé de signe. Divisons X| par X,; soit X, le reste changé de signe; en continuant cette série d'opérations, on parviendra à un reste constant, puisqu'on peut supposer que les polynômes X et X, n'ont pas de facteurs binômes communs; soit X„ ce dernier reste changé de signe. On a les relations
■(fe)-'(È)='-
'(fe)-(TÈf)=-
En ajoutant ces égalités membre à membre, et observant que I f -~ ]
est nul, il vient
1 1 -^ 1 = £i -h ej-f-. . 4- e«-i-h e„.
Pour obtenir I (y)' ^^ calculera les valeurs des fonctions X pour les deux valeurs t^, t\ de la variable /. Considé-
rons deux termes consécutifs (Xp,)^,. {^p)eo ^^ '^ première suite, et les termes correspondants (X,^<)^^, {^p)t, de la seconde. Si les signes des termes (X^, ),], (X^)^. présentent une permanence ou une variation, et de même les signes de (X^, j^^, {Xp)c^ une permanence ou une variation, on aura
Si les signes des deux premiers termes présentent une permanence, les signes des deux derniers une variation, on aura
Enfin, si les signes des deux premiers termes offrent une variation et ceux des autres une permanence, on aura
ep. — I.
Représentons par P., le nombre des permanences de la première suite qui se transforment en variations dans la seconde, et par V^ le nombre des variations qui se changent en permanences, il est clair que
Mais, si Ton désigne par V le nombre des variations de la première suite, et par V le nombre des variations de la seconde, on a aussi
et
Ainsi l'indice de la fonction -^ est égal au nombre des variations gagnées par la suite des polynômes, quand on passe de tok t^.
26. Supposons que le contour C soit un rectangle ayant ses côtés parallèles aux axes des coordonnées {Jig. 1 5). Appelons j© et ^, les ordonnées des deux côtés ab, cd parallèles à Taxe des x^ Xq et x^ les abscisses des deux côtés ac, bd parallèles à Taxe des j. Soit
LlVllE I. -
CH
on aura
• le long de a6
le long de rfc
le long de bd .
le long de ca
- ^ (Xy r» ), X variant de x.k Xt;
- ']f(x, Xi)f ^ variant de Xx^x^\ ' '\ [Xxy y), y variant de /o à ji ;
- M^M r)y r variant de r» s» Je-
Fig. i5.
Supposons en second lieu que le contour C soit la circonférence d'un cercle de rayon r, ayant son centre à l'origine. On peut définir les divers points de la circonférence par la formule z = r(cos6 -i- tsinô), où 5 désigne un angle variant de — ;r à 4- ;:. Si Ton pose
on aura
lang-:-=/,
et la variable / variera de — x à -4- ». On abrège le calcul en opérant de la manière suivante : on a
la substitution de cette valeur dans le polynôme /(z) donnera un résultat de la forme ^ , "^ '.;— - La variation de l'argument de ce quo-
tient, lorsque / croît de — oo à -4- oo , est égale à la différence entre la variation de l'argument du numérateur et la variation de l'argument
(lu dénominateur. Mais l'argument de i — //, passant de la valeur + -
à la valeur — -5 éprouve une variation égale à — tt; donc la variation
de l'argument du dénominateur est — nn. Par conséquent, si Ton représente par I rindice du numérateur, quand t varie de — 00 à 4- oo , la variation de l'argument du quotient sera 7r(I 4- n),
