I -+- fli < ^»> 1 -h a, < c"«, . . . , et par suite
S étant la limite de S;,; le produit P„ augmentant avec n et restant moindre qu'une quantité déterminée e*, tend vers une limite P.
194. Théorème II. — Soient a,, a^,... les modules des quantités imaginaires u^y u^y,,.\ sile produit des facteurs réels
(n-«,)(i-4-a,)(i4-ai)...
est cowergentf le produit des facteurs imaginaires
est aussi convergent.
Nous remarquoDS d*abord que le module d'un facteur imaginaire I + Un est moindre que le facteur réel correspondant i + a^^ de sorte que, si Ton désigne par P;, le produit des n premiers facteurs du premier produit et par Q;, le produit des n premiers facteurs du second, le module de Q,< est plus.petit que P^, et, par conséquent, plus petit que P; ce module conserve donc une valeur finie.
Démontrons maintenant que le produit Q^, est convergent. On a
— I :^-{i4- iw,)(i-i-a.^.,).. .(l-Ml«+^) — I
= a^^x -I- fln+, H- ... -h a^^p -r flji+i fliH-2 -i- . • • ; d'où Ton déduit
OU
mod.— Q—- <--p— , mod. (Q„+, - Q.)< mod. Q„ X -'li^^j^l-^" : P.+, p. < p p..
On peut prendre n assez grand pour que la différence P — P» soil moindre qu'une quantité donnée a; alors on aura, quel que soit j9,
mod. ( Q«+/, — 0„ ) <^ a.
Concevons les points qui dans le plan représentent les quantités Q,,, Q/i+n Q/i+2f*; tous ces points seront compris dans le cercle décrit du point Q„ comme centre avec un rayon égal à a. On déterminera ensuite
un nombre n' plus grand que n, tel que les points Q;/, Q^^ soient
compris dans un cercle décrit du point Q;,' comme centre avec un
Nous savons déjà que le produit est convergent pour toutes les valeurs de z. Considérons maintenant le produit des n facteurs réels
et concevons ce produit effectué et ordonné par rapport aux puissances croissantes de r; si nous appelons ^^"Ma somme des a quantités a^^ a2f.'f a„^ 5^,"^ la somme des produits de ces n quantités deux à deux, 5^3"^ la somme des produits trois à trois, etc., nous aurons
Un terme quelconque ^i^V'" étant plus petit que P„ ou que sa limite P, et croissant avec n, tend vers une limite finie s^r^, quand n augmente indéfiniment; ainsi la somme s^^^ des produits m k m des n premiers termes de la série convergente
«1 -i- «a -f- fls -+- . . .
tend vers une limite 5,;,, quand n augmente indéfiniment; mais on a
P„>i-+- 5^,''>r-i-5^''>r»-i-. .-+-5jJ>r'";
si, laissant m fixe, on fait croître n indéfiniment, on en déduit Puisque la somme S;„ des m premiers termes de la série
(2) I -f Sir-\' Sjr^ -\- Sir^-\ . . .
est moindre que la quantité finie P, on en conclut que cette somme tend vers une limite S inférieure ou égale à P, quand m augmente indéfiniment, et par conséquent que la série (2) est convergente. D'autre part, chacun des termes du produit
étant moindre que le terme correspondant de la somme
:ï06 livre IV. CHAPITRE VI.
les infinis dé )» folfctiOii d»ns cette \yAVt\c du pl;<n. p^r n eXp leurs di^ xrés, et sup|)os<His quft la rourlM» C ne passe p«r aucîUh de n^s |foifit^^
Nous savons fii" 121 j (luo la l'oiiciion l)lo;( / s, — v-/ admet (•oiniiifi
pôles simples les zéros et les infinis de la fonction /(z). Marquons dans la partie du plan considérée deux points to et /,, distincts des points a et ce; unissons-les par une ligne &o ^i située aussi dans
Fig. 74.
cette partie du plan et ne passant par aucun des points a et a; à Taide de cette ligne et de deux cercles infiniment petits ayant pour centres les points /q ^t /,, nous formerons une courbe fermée ou un
lacet enveloppant les deux points* La fonction log —3-^ éprouve un
accroissement égal à 4- aTre, quand la variable z tourne autour du point /f dans le sens positif, et un accroissement égal à — 27:1, quand la variable z tourne autour du point 1^, aussi dans le sens positif. Il en résulte que, si Ton astreint la variable jz à ne pas franchir la
coupure /o^» '2^ fonction log est monotrope dans toute l'étendue
du plan; c'est donc une fonction holomorpbe dans la partie du plan comprise entre le lacet (^o^) ^t la courbe C.
A l'aide d'une autre coupure gh^ on peut regarder cette aire comme enveloppée par une ligne fermée, composée du lacet (/«^ ) de la coupure gh et de la courbe C. La fonction
FU) = Iog^l)log/(.-)
la valeur que prend la fonction lofç*^ y^au point /<, quand la variable :s
décrit la ligne /o^» 1^^ fonction avant en /« ^^ valeur initiale zéro; nous
désignerons cette valeur de la fonction au point /, par log ^^ * • D'après
cela» rintégrale définie relative au contour entier de Taire a pour expression
Pour avoir les résidus relatifs aux points a et a, qui sont des pôles simples de ¥{z), il faut multiplier les quantités
9 Wfc - «0
respectivement par les résidus de la fonction Dlog/(s), c'est-à-dire par n et — /? (n® 121 ). On obtient ainsi Téquation
OU
(4) |og/(-''J -Vnlog^^"-;'--y/.log'^-:-4'---'-. f T{z)dz. On en déduit la formule
nfOj tj\" \ f - / I - --f •■■(-)^5
•'""•' nTî::-;-;)'
qui a été trouvée par Canchy.
198. Concevons maintenant que la courbe C s'étende à l'infini dans tous les sens, et qu'elle soit choisie de telle sorte que le module de la
fonction - ^- reste moindre qu'une quantité finie M sur cette courbe, si cela est possible. Grâce à la restriction que nous avons imposée à la variable z de ne pas franchir le lacet (^./,), la fonction log^ " ^'^
310 UVHE IV. - CHAPmiB VI.
Lorsque la fonction /(z) n'est ni nulle ni infinie à l'origine, on peut faire z„ ■ o, et la formule précédente devient
Développement de cosz.
199. La fonction cosz adipet l^s racines simples a = [^m-^ \)-y
distribuées uniformément sur Taxe Ox, et n*a pas de pôles. Portant sur l'axe Ox [fig. 75) des longueurs OA, OA' égales a m'it^ et sur l'axe Oy
Fig. 75.
~ir
des longueurs OB, OB' égales à j'i, nous formerons le rectangle EF6H, suivant lequel nous effectuerons Tintégration. Pour avoir tous les zéros
compris dans ce rectangle, on fera varier m de — m' à m' — i. Le mo-
f'(z) dule de -jr^ = — tangs étant plus petit que i sur les côtés FG, HE,
et très-voisin de i sur les côtés EF, GH, on peut réduire l'intégrale (6) à sa première partie (7). D'ailleurs, la fonction proposée cosz étant paire, cette première partie est identiquement nulle. On a donc, d'après
nÉVKLOPPEMENT DÉS FONCTIONS KS PKODITITS. \\\\
lii rormlile c) ,
III 'Il I
M»! * on :
el, en groupant les facteurs deux à deux
nt'—i»
(1.) eosz : n r^ r----T-n
IX L (2m — i)'7r*J
Développement de sinz.
200. On effectuera d'une manière analogue le développement de la
fonction paire ^^ > qui admet les racines a = mn, à Texception de
a = o. On formera le rectangle en portant sur Taxe Oa? des longueurs OA, OA' égales a m'rr -h -j et Ton fera varier m de —m'
à -+-m\ en exceptant m = o. Le module de la fonction ^j~ = cotz — -
ayant une valeur voisine de i sur le contour du rectangle, on réduira l'intégrale (6) a sa première partie (7), qui est idetitiquement nulle. On a donc
m=zm'
Wl = - Wl'
Ml=f
Remarques. — Si l'on développe ce dernier produit suivant les puissances croissantes de z (n^ 196), on a
Sin^ -:r z — SiZ^ -^- 5jZ* — 5sZ' 4- . . . ,
en désignant par 5< la somme des quantités ^j-^^ ^7-7» ^^^ --> par *,
la somme des produits de ces quantités deux à deux, etc.; mais cette série doit être identique a la série
sinz :-- z -- — - -t
En égalant les coefficients des mêmes puissances de :;, on obtient diverses relations, parmi lesquelles se trouve la suivante :
