TT* I I I

Développement des fotuctions 6 en produits. 201. Nous avons obtenu (n® 192) l'expression

;/! = wj'— 1

D Iog0,(z)~— - liin \ tang- z — {2m -i i) - 1

La série n'est pas convergente dans les deux sens; mais si l'on groupe les termes deux à deux, on obtient une série convergente

iti^^ «

Dloge,(z)::=-^^ jtang^l^z -(am- i)^-j ^ tang^ [^z -4- (2m- i)^J

Supposons qu'après avoir multiplié les deux membres par dz^ on intègre, en faisant marcher la variable ;; sur une courbe allant de l'origine à un point quelconque z du plan, el ne passant par aucune (les racines de la fonction d2{z). Comme on peut prendre m assez grand pour que le module de la somme des termes de la série, à partir du terme de rang m, soit moindre qu'une quantité donnée sur toute

la courbe, on aura, d'après le théorème du n^ 81,

TT r , , w'i TT r , . W'I

. 6,(z) v". cos-[.-{am-,)-Jcos-[;.-f-(.m-.)-J

'"«ên^- 2 '*»« — ,w -'

' i;î?f cos*(2m — i) —

cos*(2m — i)

chacun des logarithmes se réduisant à zéro pour z =o. On en déduit

sin' —

(i4) e,{z)==e,(o) TT I I

cosMam — i) —

et, en remplaçant z par z

, TÏZ COS'

cos*(2m — i)

2ût)

L'équation (63) du n® 192 donne de même

— / tancr

in=«

DlogO, (2)=r— -| tang h > tang - (-2 — m&)')4-tang- (2-i-mw')

en intégrant suivant une courbe partant de l'origine et ne passant par aucune des racines de la fonction O2 {z), on a

^, . ^=* cos -{z — mcù') cos- {z -h mui')

Ut\Z) . HZ x' , w w

(O) ° W ^ ' , TTC»)'

ût)

TTû)

m=i \ cos'm

chaque logarithme s'annulant pour z =: o. On en déduit

Ô,(z) = 9,lo)cos^lll I-

sin'

cos*m

TTû)' 0)

et, en remplaçant z par 2 h- ->

e.(^)=e,(o)sin^];X '-

cos*m

202. La forme de ces expressions peut être modifiée par l'introduction de la quantité q. Elles deviennent

27rz

e(z)=e.(o)lJ

e,(o)cos^ JJ

I — 2fl*"~* COS -^ h fl'f^-»)