IR
! » (o)= iyp<f{p)'[[{i + p»")'.
Les formules
qui définissent les modules k et ^, donnent
En divisant par z les deux membres de la quatrième des équations (20) et de la quatrième des équations (^S), et faisant tendre z
3î0 UVRE IV. - CHAPITRE VI.
Nous avons vu {n? 173) que les fonctions d,(z) etds(^) satisfont à la relation
Il est facile maintenant de déterminer la constante C; on a, en effet,
206. Remarque. — La méthode de Cauchy permet d'opérer directement la décomposition des fonctions elliptiques en produits d'une infinité de facteurs rationnels; en prenant un contour d'intégration convenable et groupant les facteurs d'une certaine façon, on arrive aux fonctions 0^ ou aux fonctions d» ou à d'autres analogues.
Nous avons besoin, pour cela, de connaître le développement de la fonction cos(z — z^). Si l'on forme un rectangle égal à celui qui nous a servi pour le développement de cosz (n^ 199), mais ayant son centre au point Zq, on verra, comme précédemment, que l'intégrale relative au contour de ce rectangle tend vers zéro. Les zéros situés dans ce
rectangle sont a = Zq -+- (2/w 4- i)-i m variant de — m' à m' — 1, et l'on a
(36) cos(^-^>)^|
im ^^
m=-m' I Zo-f-(2m
Pour développer les fonctions elliptiques, nous emploierons un rectangle, ayant pour sommets les points s = =L ( /w'w — ^ j zL f/i'o'— ^ j,
de manière que le contour ne passe par aucun des zéros ou des infinis
f'iz) de ces fonctions. La fonction '^-^7—7 conservant une valeur finie sur ce
contour et étant impaire, d'après ce que nous avons dit au n^ 198, l'intégrale définie relative h ce contour tend vers zéro, quand on augmente indéfiniment les deux nombres entiers m' et n\ dont dépendent les dimensions du rectangle. Les zéros et les infinis des trois fonctions
322 UVRB IV. - CHAPHRB VI.
d'après la formule (36), tend vers une limite égale à
TT r , ,&/!
cos - 2 — (an -h i) — I "L ^ J
cos(2n -h i) —
On a donc le produit
n-=zK — ;
"'-* COS - z — (an 4- 1) ~ »=«' I 4-<ifl*"-' cos ^^ 4- o^C"-'
il , ,7rw' ""il (i-hfl«-7 '
« = -«» C0S(2IH-l) «=, V » /
qui a pour limite la fonction -~y (n^202). Dans le dénominateur
n=-/i' m^-m' I /Wû) -h (2» -+- l) — I
le premier produit
in=-m'| mck) -f-(2n-t-i)— I
tend vers une limite égale à
. TT r , x^n
Sm - 2 — (211 -j Ij —
— sin(2n -h i)
TTff)'
et le second produit
n = n-r s|n - Z — ( 2/1 4" I ) — n=n' ^^ 2(7»"-' COS ^^ 4- <I*(>"-0
n<^L ^ -^ = TT M
. , ,7rw' 11 (i — q^-'Y
vers la fonction ^— y • On exprime ainsi la fonction v (z) par le quotient
32i LIVRE IV. - CHAPITRE VI.
sin
tend vers une limite égale à — '- (n® 200), le produit
11 \ mw -f- /iw'/
rn - - m'
OÙ n est diderent de zéro, vers une limite égale à
sin - (z — «&)')
TTOD
- sm/i —
Cl)
en vertu de la formule (36). Le numérateur, multiplié par i;, devient donc
. Tf/ #s . * ^t:z sm-(s — ww) " " I -ûf^''cos \- q*"
- sm — Il ,— — - sin - - I I ; -,
— sm/i „=x ^
Gi)
c'est la fonction Trrr-:' Le second mode donnerait ^ri-^,y
On pourrait aussi, à l'aide du théorème du n® 184, décomposer les fonctions elliptiques en des sommes de termes rationnels; en prenant un contour d'intégration convenable et groupant les termes d'une certaine façon, on retrouverait les séries que nous avons obtenues (n® 189) et qui sont formées de termes simplement périodiques.
C'est en décomposant les fonctions elliptiques en facteurs, mais par une méthode toute dill'érente, qu'Abel et Jacobi ont découvert les fonctions Oy qui jouent aujourd'hui un rôle si important dans les Mathématiques.
3îe6 LIVRE V. - CHAPHRB I.
rayon r, et continue sur la circonférence elle-même. Appelons M le maximum du module de la fonction /(a?) dans le cercle de rayon r. Si, dans la formule (n®87)
on remplace chaque élément de l'intégrale définie par la quantité M^ plus grande que son module, on augmente évidemment le module de rintégrale définie, qui se réduit alors à ^ttM, et Ton a
(i) mod./"(a;,) < i .2. . .n — •
Lemme IL — Soit /(a?, ^) une fonction holomorphe par rapport à chacune des variables imaginaires â?, y, quand ces variables restent comprises respectivement dans des cercles de rayons r, r\ décrits des points â?o, j'o comme centres, et continue sur les circonférences ellesmêmes. Appelons de même M le maximum du module de la fonction dans rétendue des valeurs considérées. Si, dans la formule (u^ 100)
on remplace chaque élément de l'intégrale multiple par une quantité MdOdQ' plus grande que son module, on augmente le module de l'intégrale, et l'on a
Lemme III. — Il est facile de composer une fonction dont les dérivées partielles aient en x^, y^ des valeurs égales aux limites assignées pour les modules des dérivées correspondantes de la fonction proposée /(a?, j).
Considérons, en effet, la fonction
priétés énoncées» on obtiendra ses dérivées successives au moyen des équations
que Ton déduit de la première par la difTérentiation (n^ 101).
Imaginons que, dans les seconds membres, on remplace les valeurs de la fonction / et de ses dérivées partielles pour z = o et u = o par leurs modules; la première donnera le module de u^\ en portant cette valeur dans la seconde, on aura une limite supérieure du module de i^; en portant ces valeurs dans la troisième, on aura une limite supérieure du module de ul\ et ainsi de suite.
En vertu du lemme III, les dérivées partielles de la fonction /(^^^ u) ont, pour z = o, li = o, des valeurs dont les modules soQt moindres que les dérivées correspondantes de la fonction
<p(2, Mj —
pour z = o, u r:^ o. Considérons l'équation différentielle
(6) -.-r=(p(2, i;)rzr
dans laquelle nous donnons à la fonction v la valeur initiale v =^o pour jz = o. Si cette nouvelle équation admet une intégrale holomorphe, on obtiendra ses dérivées successives au moyen des équations
i v"= D3 9 -4- 2/ DL 9 -r t/"D; 9 -f- c^'^D, 9,
analogues aux équations (5). Quand on y fait :z == o, et<^ — o, la fonction (f et ses dérivées partielles prenant toutes des valeurs positives,
330 LIVRE V. — CllAPITRE 1.
radical est nulle, c'est-à-dire lorsque
cette valeur z = p\ inférieure à p, est un point critique; ainsi la formule (lo) définit une fonction holomorphe de z^ tant que cette variable reste comprise dans le cercle décrit du point z = o comme centre avec un rayon égal à p\ Cette fonction satisfait à Téquation (9), et, par conséquent, à Téquation (8).
La fonction (^ se développe en une série
(\ t z m z gf z
convergente dans le cercle p'; on peut en calculer les coefficients à l'aide des équations (7); comme nous l'avons remarqué, ils sont tous réels et positifs. Si l'on attribue à z une valeur ayant un module p" inférieur à p\ le module de (^ sera plus petit que la somme des modules des termes de la série, c'est-à-dire que la valeur de v pour z = p''; cette valeur de ^, réelle et positive, augmente avec p"; mais, pour z=p\ le radical étant nul, l'équation (10) donne v = r. On en conclut que, dans le cercle de convergence p\ le module de la fonction v reste plus petit que r.
Considérons maintenant la série
dont les coeiricients sont les quantités que nous avons calculées de proche en proche à l'aide des équations (5). Nous avons vu que les modules de ces coefficients sont moindres que les coefficients correspondants de la série (i i); ainsi la série (12) est aussi convergente dans le cercle p\ et elle définit une fonction holomorphe dans ce cercle. Nous remarquons que, si l'on attribue à z une valeur ayant un module p" inférieur à p\ le module de u est plus petit que la somme des modules des termes de la série (la), et, à plus forte raison, plus petit que la
209. Remarque. — Nous avons démontré que- l'équation différentielle -7- =f[u, z) admet une intégrale holomorphe dans une certaine
étendue. Il n'existe pas d'autre fonction satisfaisant à l'équation différentielle proposée et devenant égale à zéro pour 2 = 0. Soit u l'intégrale holomorphe, et supposons qu'il existe une seconde intégrale» que nous représenterons par m H- <^, la fonction v s'évanouissant pour a = o; nous aurons
d'où
^ -/(M-hV, 2)-/(m, 2).
Puisque le second membre s'annule pour (^ = 0, quelle que soit z^ il contient une puissance de v en facteur (n** 115), et l'on a
en supposant que, dans le quotients on ait remplacé uetv par leurs valeurs en fonction de z. L'intégration le long d'une courbe quelconque donne
^^{-^,^--.-^)=f\{z)dz.
L'intégrale définie ayant une valcuir finie et r^ devant être nulle, cette égalité est impossible. Quand m~- i, l'équation différentielle devient
~ =c^(z)dz,
d'où
Puisque <^o = <^» '^ fonction (^ est identiquement nulle.
Ainsi l'équation différentielle proposée n'admet pas d'intégrale prenant la valeur zéro pour z = 0, autre que l'intégrale holomorphe
et si Ton admet que les fonctions intégrales existent de part et d*autre, on verra, comme précédemment, que les dérivées (i^Oo» (<^i)««-'*» (^ )o»- • •« déduites des premières par un calcul de proche en proche, ont des modules respectivement moindres que les quantités réelles et positives (('Oof (^Oo*- • •» (K')o«- • m déduites des secondes par un calcul analogue. Remarquons que les quantités ((^;)o, (^t)o*- • *' (^)o sont égales entre elles, de même les quantités (^i')o» (^Do»---» (^)of et ainsi de suite.
Il est facile d'intégrer les équations (17). Si les fonctions v^, t'sf...» ^a existent, comme elles ont leurs dérivées égales et même valeur pour j3 = o, elles sont égales entre elles; on doit donc avoir
et chacune des équations (17) se réduit à
dv M
on la mettra sous la forme
La fonction (^ doit donc satisfaire à l'équation
d'où l'on déduit
Nous prenons le logarithme qui s'annule pour 5=0, et qui est holomorphe dans le cercle p. Les n 4- 1 racines de l'équation (20) deviennent égales, lorsque In quantité placée sous le radical s'annule.
Existence des fonctions implicites.
2il . Thêobeme III. — Étant donnée une équation Y[z^ u) = o dont le premier membre est une fonction holomorphe des deux variables z et u dans le voisinage des valeurs initiales, si la dérivée partielle par rapport à u nest pas nuUe pour les valeurs initiales assignées , V équation est vérifiée par une fonction u de z holomorphe dans une certaine étendue.
Ce théorème, que nous avons démontré directement pour les équations algébriques (n^ 31) et étendu ensuite aux équations transcendantes (n^ 130), peut être regardé comme une conséquence du théorème I, relatif à Texistence de Tintégrale d'une équation différentielle.
Si Téq nation est vérifiée par une fonction u de z^ admettant la valeur i4o pour z = ^0 et holomorphe dans le voisinage du point z^^ cette fonction satisfera à Téquation différentielle
d'où Ton déduit
' tfK du D,F ^, .
La fonction F(z, i/) étant holomorphe par rapport à 2 et à u, les deux dérivées partielles D-F, D„F jouissent de la même propriété; si, pour J3 = Zo et M "- Mo» '^ dérivée partielle D„F n'est pas nulle, le quotient f[z, u) sera lui-même holomorphe en z et u, La question est ainsi ramenée à la précédente : l'équation différentielle (a5) admet une intégrale holomorphe u = (f [z), ayant la valeur initiale w© pour
ÂJ
Zq.
Il est aisé de voir que cette fonction 14 = 9 (z) satisfait à l'équation
proposée; car l'expression D-F 4- MJ^ j: est la dérivée de la fonction
composée F (2, m); cette dérivée étant nulle pour toutes les valeurs de z comprises dans une certaine partie du plan, la fonction F(j5, u) est constante, et comme elle est nulle pour z = o, elle est nulle dans toute cette partie du plan.
rivées, déduites de ces équations, soot des fonctions holomorphes
du% ^ . ,
dz
et la question est encore ramenée à celle de Tintégration.
C(u ou le coefficient différentiel devient infini.
