Revenons k Tétude d^une équation différentielle

du ^.

La variable z part d'un point fixe jzq» I^ fonction u ayant une valeur initiale u^. D'après ce que nous avons démontré, tant que le coefficient différentiel reste holomorphe par rapport k jz et à i£, l'intégrale u est ellemême une fonction holomorphe de z. Supposons maintenant que, la variable z arrivant en un certain point z^, la fonction u prenne une valeur M,, telle que le coefficient différentiel /(z, u) devienne infini, de

manière, toutefois, que son inverse — reste holomorphe dans le

voisinage des valeurs z^ et u^. Dans ce cas, la fonction intégrale u cesse d'être monotrope, et acquiert autour du point z^ plusieurs valeurs différentes qui se permutent circulairement.

Thi^orème V. — Lorsque le coe^fficient différentiel devient infini^ si Ton

désigne par n V ordre de la première dérivée partielle de la fonction j

par rapport à u qui ne s'annule pas y la fonction intégrale acquiert n -H I valeurs différentes formant un système circulaire.

Posons