LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

d'où

Si Ton regarde i comme une fooction de m', cette fonction devra satisfaire à l'équation difTérentielie

rfz ' I

du! "~ f{Ux-\- a',2|-+-z')'

et admettre la valeur initiale 2' = o pour v! = o. La fonction

/(i«,-*-a',z,-hz')

étant holomorphe, est développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de u! et de z\ et Ton a

dz' (29) ^-7 =r:aa'-4- 6z'4-CM'z'-t-ez"H-. . .= (p(a^ z').

Le second membre renferme au moins un terme indépendant dez'; car, si tous les termes contenaient z\ l'équation admettrait la solution j5'= o et aucune autre (n® 209). Soit n le degré du premier terme indépendant de z'\ les n — I premières dérivées partielles de 9 par rapport à U s'annuleront pour u' = o, z'=o; de sorte que les équations successives

u' W du' "*" Iz'' \^u' ] "^ Dz' du'^

donneront

mais la dérivée suivante ( , ,^\ ne sera pas nulle. L'intégrale de l'équation (29) sera de la forme

(3o) z'= X «'"+' -*- hu"*-"' -4- Cm'"-^^ -f-

Il s'agit maintenant de résoudre cette équation par rapport à u\ Pour cela, posons

l'équation devient

Pourz"=o, l'équation se réduit à l'équation binôme 1 — At^^'=o; on adoptera, pour valeur initiale de v, l'une quelconque des valeurs

i^o= \j)"^'' La dérivée partielle du premier membre de l'équation (3 1)

par rapport a v n'étant pas nulle pour z*'= o eis^ = i^o» cette équation, en vertu du théorème III, est satisfaite par une fonction holomorphef^

de z\

d'où l'on déduit

(32) a=a,H-i'. z'"-*-* -hi/, z"«"^' -4- v,z"«-*-* -4-

Quand la variable z tourne autour du point z^, la fonction u acquiert n-h I valeurs différentes formant un système circulaire.

La valeur de ç^o est l'une des racines de l'équation binôme i<;"^' ~ ^; quelle que soit celle des racines que Ton prenne, on aura toujours

pour M les mômes valeurs; nous avons posé, en effet, uf = vz"zz=: çz'"'*''; si Ton remplace la variable z' par la valeur z'e^'"^*, qui se rapporte au

même point du plan, la formule précédente devient m'^-^c""' -5'""^'; ceci revient à remplacer {^^ par une autre racine de l'équation binôme.