Considérons l'équation différentielle
du
à laquelle nous joignons la condition initiale u = i pour z = o. La dérivée étant une fonction holomorphe de u pour toutes les valeurs finies de u^ il existe une fonction a de ^ satisfaisant à l'équation différentielle proposée et à la condition initiale donnée, et cette fonction est holomorphe tant qu'elle conserve une valeur finie; mais, à l'inspection de l'intégrale définie
/ 'du.
on voit que z devient infini avec iz : on en conclut que u conserve une valeur finie pour toutes les valeurs finies de z, et, par conséquent, que la fonction u^ définie par l'équation différentielle, est holomorphe pour toutes les yaleurs finies de z.
La fonction inverse z Aqu est donnée par l'intégrale définie (s); le
point u=^ o étant pôle de la fonction -9'cette intégrale définie z admet
la période polaire («)?= inxi\ il en résulte qu'à chaque valeur de u correspond une série de valeurs de z de la forme z + mtù. On en conclut que u est une fonction de z simplement périodique.
Cette fonction, étant holomorphe pour toutes les valeurs finies de 2, est développahle en une série ordonnée suivant les puissances entières de z, et convergente dans toute l'étendue du plan. On obtiendra les
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coefficients de la série en suivant la méthode générale indiquée au n^ 208. De l'équation proposée on déduit, par des diiTérenliations successives,
d^u du ^ d*u du
toutes les dérivées se réduisant à l'unité pour z = o, on a la série
ce qui fait voir que la fonction intégrale n'est autre que e*.
Exemple II.
