EXEMPLES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
le voisinage du point z'= o; il en résulte que le point z = a est un pôle de la fonction u. On conclut de là que la fonction u, définie par l'équation différentielle (4)» est une fonction méromorplie de z dans toute l'étendue du plan.
La fonction inverse est donnée par l'intégrale définie (5). Si la variable u décrit deux lignes symétriques par rapport à l'origine , z acquiert dés valeurs égales et de signes contraires; il en résuite que
u est une fonction impaire de z. La fonction ^ admet les deux
pôles u= ±i; puisque
les lacets correspondants (a) et (i), décrits dans le sens positif» donnent la même période polaire ro = -b tt. Il en résulte qu'a chaque valeur de u correspond une série de valeurs de z de la forme z •+- mn. On en conclut que u est une fonction de z simplement périodique.
Il est facile de trouver les pôles de cette fonction. Remarquons d'abord que, dans l'étude de l'intégrale définie (5), le point u = ao ou n'= Of sur la sphère, est un point ordinaire. L'intégrale définie, rela« tive au contour d'un demi-cercle /'M {/îg. 76) d'un très-grand rayon,
est égale à l'intégrale relative au lacet (a), c'est-à-dire àTr; la partie de l'intégrale relative à la demi-circonférence étant infiniment petite, et les parties relatives aux deux rayons /'O, 0/ étant égales, si l'on appelle a l'intégrale relative au rayon infini 0/, on a 2a = 7r, d'où
a = -• Les pôles de la fonction sont donc - -
mi:.
216. On peut exprimer la fonction mcromorphe u par le quotient de
deux fonctions holomorphcs. Si Ton pose, en effet, u ~ — i Téquation différentielle devient
Idv \ (dw \
cette équation sera satisfaite si Ton choisit les deux fonctions i^ ei w de manière à vérifier les deux équations simultanées
, , dv dw
auxquelles on joindra les conditions initiales (^ r= o, (P = i pour 2 = 0. Diaprés le théorème général démontré au n^ 210, ces deux fonctions restent holomorpbes tant qu'elles conservent des valeurs finies; elles sont développables en des séries dont on obtiendra les coefficients en difPérentiant plusieurs fois successivement les équations précédentes, ce qui donne
d^v dw d^w dv
dz^ " 5F ~" ■" *'' 5^ " ~ 55 "" "''
rf'c dv rf*tv dw
5^** ~" ~~ 5z "' "" ^' 'dt^ "" dz"~ '
d*v dw dUv dv
dz* ~ 7iz ^' Ifz^ ' 5z "'
Pour z •— o, ces dérivées se réduisent à
dv
éz "^'
dw
dz -""'
d^v dz^
d'w dz'
dz' ''
dz^ ^'
dUv
EXEMPLES DÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 345
et ToQ a les deux séries
Ce sont précisément celles qui définissent sinz et cos^ (n^ 55); elles sont convergentes pour toutes les valeurs de z, et Ton vérifie aisément qu'elles satisfont aux deux équations différentielles simultanées. On a donc
cosz ^
Exemple III.
