Soit l'équation difTérentielle

dans laquelle le polynôme placé sous le radical est du second degré» et à laquelle on jdint la condition initiale u = o pour z = o, le radical ayant une valeur iniliale déterminée. La dérivée cesse d'être une fonction holomorphe de u, lorsque la fonction intégrale u arrive dans le voisinage des points critiques a et 6 du radical» ou lorsqu'elle devient infinie. Nous savons (n^ 111) que l'intégrale définie

Jo v^G(«-rt)(tt — 6)

conserve une valeur finie sur toute la sphère, excepté au point u = oo où elle devient infinie. Ainsi la fonction u ne devient infinie pour aucune valeur finie de jz; il suffit donc d'examiner ce qui se passe quand la variable z arrive dans le voisinage d'un point 2« où la fonction u acquiert l'une des valeurs a ou 6. Nous poserons» pour cela»

346 UVRE V. - CHAPITRE n.

z = s, -h z% u = a'\' u'^\ réquatioQ difTéreatielle devient

^' = iVG(a- 6 + «'•).

et il faut y joindre la condition initiale u^= o pour z' = o. La dérivée ^ étant une fonction holomorphe de u' pour les valeurs de u'

voisines de zéro, la fonction intégrale u' est elle-même fonction holomorphe de z' dans le voisinage de z'=^ o. On en conclut que la fonc^ tion Uj définie par Téquation différentielle (9)9 est une fonction holomorphe de z dans toute retendue du plan.

Si l'on désigne par A et par B les intégrales définies relatives aux droites Oa et 06, nous avons vu (n^ 113) que l'intégrale définie (10)

admet une période co = 2A — 2B = -^9 et qu'à chaque valeur de u

correspondent deux séries de valeurs de z de la forme z + mu, A — z + mtù. On en conclut que u est une fonction de z simplement périodique.

218. On peut ramener l'équation différentielle proposée à une forme plus simple. Si l'on pose

z, étant l'une des valeurs de z qui correspondent 9. u'^: > l'équa-

tion différentielle devient

avec la condition initiale u' -^o pour z' = o. Les deux points critiques sont m' = dz I, et l'on a yJG = i , w = a?:.

La fonction u\ étant holomorphe dans toute l'étendue du plan, est développahie en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de z\ et convergente dans tout le plan. De l'équation

EXEBffPLES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3i7

00 déduit» par la difTérentiation,

d^u' , dUi' d^ rf* u' ,

pour z' = G, ces dérivées ont les valeurs

du' d^u' ^^^ rf^tf

et Ton obtient la série

On a donc

(i^) a'=:sînz'.

Exemple IV.