Soit, comme exemple, l'équation

Prenons d'abord pour contour un rectangle dont les côtés, parallèles aux axes, sont déterminés par les abscisses a?o = — i» ^i = -h i et les ordonnées r,, = — i , j, = +- 1 . On a

Le long du côté ab

Xj --— 3j7 — 124, X«:— — 3oi868;

les signes des résultats des substitutions de — i et + i étant

rindice relatif à ce côté est i. Le long du côté de, parallèle à a6,

Nous remarquons que sur les côtés ab et de les polynômes X sont égaux, et les polynômes Y égaux et de signes contraires. Mais x varie sur le premier côté de — i à -h i, sur le second de -h i à — 1; il en résulte que les indices relatifs à ces deux côtés sont égaux. Le long du côté bd, on a

les signes correspondant à — i et + 1 étant

rindice est nul. Enfin, le long de ca, on a

Xs = 237, X4--644.

En substituant d'abord + i, puis — i, les signes des résultats sont

l'indice est encore nul. On conclut de ce qui précède qu'une seule racine est comprise dans le carré ahdc; celte racine est nécessairement réelle. 11 est bon de remarquer que les indices relatifs aux côtés ab et de du rectangle sont égaux toutes les fois que ces deux côtés sont équidistants de l'axe des x.

Prenons maintenant pour contour une circonférence d'un rayon égal à l'unité et ayant pour centre l'origine. On a sur cette circonférence

», , (7/* — 12/'— 3)-+-io(/»-h/)i

On obtient Tindice du numérateur à l'aide des polynômes

X — 7/*— 12/'— 3, X. -- 1'-\- /, Xv — H)/M-3,

l'indice étant égal à — 2, on en conclut que la circonférence ne comprend qu'une raciqe.

Si Ton remplace la circonférence dont le rayon est i par une autre de rayon égal à 2, on a

/ (2) - li~tiy '

rindice du numérateur s'obtient à l'aide des fonctions

Cet indice étant égal à 4» on en conclut que la seconde circonférence comprend les quatre racines de Téquation. Il est évident, à l'inspection de l'équation, qu'elle n'admet que deux racines réelles comprises, Tune entre zéro et 1, l'autre entre i et 2. Le module des deux racines imaginaires conjuguées est donc compris entre 1 et a; on vérifie ce résultat, en remarquant que ce module a pour expression

s/ il

X désignant la racine positive de l'équation

Continuité des racines.

28. Soit/(5, u) = o une équation dont le premier membre est un polynôme entier en z et u, du degré m par rapport à u^ et que nous supposons irréductible, c'est-à-dire non de'îcomposable en un produit de polynômes entiers en z et u. Si l'on attribue à z une certaine valeur, l'équation en i^ a m racines; nous allons démontrer que, si le paramètre z varie d'une manière continue, ces m racines varient aussi d'une manière continue (Cauchy, Exercices d^ Analyse et de Physique mathématique, i84i). Cette propriété importante résulte du théorème suivant :

Théorème III. — Si pour z = a l'équation a n racines égales à 6, pour une valeur de z voisine de a, l'équation a n racines voisines de b.

Pour abréger, remplaçons z et u par a -h z' et b -h u'; pour z' = o, l'équation /{a -^ z\ b -h u') =0 admet n racines égales à zéro. En ordonnant le premier membre de l'équation par rapport aux puissances

croissantes de u\ on a

f{a -h z', ft -h w') = Z. -4- Z, w' -*- Z,m'^ -i- . . . -4- Z^w'" -f- Z„h. «*""^' 4- . . . + Zmu"^.

Les polynômes Zo, Z|,. . . , Z„, s'annulent pour z' = o, mais Z„ ne s'annule pas. Du point a comme centre, décrivons un cercle de rayon p qui ne comprenne aucune racine du polynôme Z„, et assujettissons le point z' à rester dans ce cercle. Soit A le plus petit module du polynôme Zn dans le cercle p, B le plus grand module de chacun des polynômes suivants Zn-^i^ Zn+i, . . . , Z;„ dans le même cercle. Nous pouvons mettre le premier membre de l'équation sous la forme

OU

en posant

'-^ - z; li^ "^ z; ii^ "^ • • • "^ "Z7 i? '

Si l'on fait mouvoir le point u' sur la circonférence d'un cercle ayant pour centre b et un rayon r plus petit que l'unité, on a

mod P < ^ ( r -h r' -+-...):= --

On choisira le rayon r de manière que

il suffit pour cela de prendre

A-h2ir

alors le module de P sera plus petit que -• Le rayon r étant choisi de celte façon, et le point u' se mouvant sur cette circonférence, on a

1 i-v ^ • I niod Z., mod Zi mod Z„,

mod 0 < -r ( — * —— H- . H

Les polynômes Zo* Z , Z,i-i étant des fonctions continues de z\

qui s'annulent pour z' = o, on peut trouver un rayon p' plus petit que p, et tel que, pour tout point z' situé dans le cercle décrit du point a comme centre avec le rayon p', le module de chacun de ces polynômes soit moindre qu'un nombre donné C, satisfaisant à la condition

rj<2

ou

il sufiit pour cela de prendre

Le rayon p' étant choisi de cette façon, le module de Q sera moindre que - pour toutes les valeurs de z' situées dans le cercle p' et de u' situées sur la circonférence r, et de même le module de P.

Le point z' restant fixe à l'intérieur du cercle p', concevons que la variable u' décrive la circonférence r dans le sens positif, et considérons l'expression

qui est un polynôme entier en u\ L'argument du facteur m'" éprouve une augmentation égale h 27z x n. Le facteur i -I- P -I- Q, que nous désignerons par ç^, est une fonction monotropc de u'; figurons-le par un point v dans un plan {Jig. i6), et marquons le point C qui correspond a ^ = i; la distance Ci^ est égale au module de P 4- Q, qui est moindre que l'unité. Quand la variable w' décrit la circonférence r, le

point V décrit une courbe fermée située dans le cercle dont le point C

34 LIVllE 1. - CHAPITRE U.

est le centre et le rayon égal à Tunité, et par conséquent Targument de ç reprend sa valeur primitive. Ainsi l'argument du polynôme

Fig. iC.

/{a -h z\ b ^- u') éprouve une augmenialion égale a 271 x /i; on en conclut que ce polynôme admet n racines à l'intérieur du cercle r.

Corollaire. — Si pour z =^ a la valeur u= h est racine simple , pour une valeur de z voisine de a V équation admettra une racine simple voisine de b et une seule.

Définition d^ une fonction algébrique.

29. Supposons que, pour z — z^^, Uq soil racine simple de l'équation y (z, u) = o; faisons mouvoir le point z sur une courbe; en un point «, voisin de Zq l'équation admet une racine simple U| voisine de Uq* et une seule; en un point voisin de z^ elle admet une racine simple u^ voisine de u^^ et ainsi de suite. La série des valeurs u^^ i^,, ^s»*- forme une suite continue, que l'on regardera comme une fonction de z.

On peut continuer de cette manière tant que la racine considérée u conserve une valeur finie et reste racine simple, c'est-à-dire ne devient pas égale à une autre. Les points où une racine devient infinie sont les racines du coefficient de la plus haute puissance de u dans l'équation; leur nombre est au plus égal à m' — m^ m désignant le degré de l'équation par rapport à a et /n' le degré par rapport à ^ et a. On obtient les points où Téquation admet des racines finies égales entre elles en éliminant u entré les deux équations

f[ZyU)'-.Oy ^~«;

comme centre avec le rayon p, que Taire ZtZ2z'^z\zi soit comprise dans le cercle décrit du point Z| comme centre avec le même rayon p, etc. Il suffirait pour cela de prendre pour:;!,;;'^ les points ou le premier cercle coupe les courbes 6 et G\ pour Z2, z'^ les points où le second cercle coupe 6 et G\ etc. Nous partons de z^ avec la valeur initiale u^; les deux chemins Zq^^m Zqz\z^ conduisent en z^ à des valeurs qui différent chacune de Uq d'une quantité moindre que — » et qui, par consé-

quent, diflërent entre elles d'une quantité moindre que M; la dilTérence entre doux racines au point Zt étant plus grande que M, on en conclut que ces deux valeurs sont rigoureusement égales; ainsi les deux chemins Zo^if Zq z\zt conduisent en z, à la même valeur ^^,.

Considérons maintenant les deux chemins z^ z^ z^^ z^ z\ z\ z^ ; on peut remplacer le second par z^z^z^ + z^z\z\z2^ en parcourant la traverse z^ z\ deux fois dans des sens contraires; la première partie z^ z\ z^ donnant U| comme z^Zt, ceci revient à partir du point Z| avec la valeur initiale u^ et à décrire les deux chemins z^ Z2, Z| z\ z^z2; ces deux chemins, étant compris dans le cercle de rayon p décrit du point z^ comme centre, conduisent en Z2 à la même valeur 1^2» ^t ainsi de suite. On en conclut que les deux lignes G et G' conduisent en Z à la même valeur U. Par une série de lignes intermédiaires, on passera de la courbe A a la courbe B.

Fie- »9-

Supposons qu'entre les deux courbes A et B il y ait un point singulier a {/ig. 19), où l'équation admette une racine infinie ou une racine

multiple 6, mais telle, que, lorsque la courbe  en se déformant passe par ce point, la fonction u conserve une valeur finie ou reste racine simple, et par conséquent diffère de la racine multiple b. Ce point a se comportera, dans la question actuelle, comme un point ordinaire; en effet, les courbes A et B peuvent être remplacées par les lignes Zf^mnpZ, z^mn'pZ, formées de deux parties communes et des deux moitiés d'un cercle très-petit ayant pour centre le point a\ sur ces deux nouveaux chemins, on parcourt d'abord la partie z^^m avec la même valeur initiale m©, ce qui conduit en m à la même valeur u^ , qui, par hypothèse, est finie ou diffère de la racine multiple 6 d'une quantité finie; les deux demi-circonférences conduisent eu /? à la même valeur u^\ car si les valeurs obtenues étaient différentes, elles différeraient peu Tune de l'autre et différeraient de b de quantités finies; mais, dans le voisinage du point a, les racines peu différentes l'une de l'autre sont celles qui différent très-peu de b. Enfin, la dernière partie /?Z conduira en Z à la même valeur de la fonction.

31. Thisorème V. — Une fonction algébrique est holomorphe dans toute partie du plan limitée par une courbe A que Von peut réduire à un points sans franchir aucun point ou la racine considérée devienne infinie ou égale à une autre.

Prenons sur la courbe un point Z {/ig. 20) voisin du point z^; la courbe ^oAZ peut être ramenée, par hypothèse, à la ligne infiniment

Fig. 20.

petite jSqZ, sans franchir aucun point singulier où la racine considérée devienne infinie ou égale a une autre; il en résulte que, si la variable z

décrit la courbe ZqXL^ la fonction, dont la valeur initiale est Ut* acquiert en Z la même valeur que si la variable avait décrit la ligne infiniment petite jSqZ; la courbe fermée A ramène donc en z^ la valeur initiale u^. Supposons maintenant que la variable aille du point z^ à ud point quelconque z situé dans la partie du plan considérée par deux chemins z^mz^ z^nz situés dans cette partie du plan; la courbe fermée ZqAzq pouvant être réduite k la courbe fermée z^mz/izo, sans franchir aucun point singulier, celle-ci ramènera, comme la première, la valeur initiale Uq; on en conclut (n^ 11 ) que les deux chemins z^mz, z^nz conduisent en 2 à la même valeur de la fonction. Ainsi la fonction u a une valeur unique en chacun des points situés dans la partie du plan limitée par la courbe A; c'est une fonction monotrope dans cette partie du plan.

La fonction étant continue, à un accroissement infiniment petit àz de la variable correspond un accroissement infiniment petit Au de la fonction, et Ton a

(y; .Az 4-/;,. Aa) -4- i (/;..A2' -h 2/;„.Az Att -+-/:..Aii«) 4-. . ===0.

Si Ton pose Au = v^z et si Ton divise tous les termes par Aj», cette équation devient

Puisque u est racine simple de réquation/(j3, u) = o, la quantité/J est différente de zéro. Pour Ajc =0, l'équation précédente a une racine

simple finie 1 — — ji- D'après le théorème de la continuité, à une

Jn

valeur très-petite de A 2 correspond une valeur de ç très-voisine de X, et

une seule; on en conclut que le rapport -.- tend vers une limite finie

et déterminée X, quand l'accroissement A2 attribué à la variable tend vers zéro d'une manière quelconque, et par conséquent que la fonction admet une dérivée. Il résulte de ce qui précède que, dans Taire A, la fonction algébrique est continue, monotrope, et admet une dérivée; c'est donc une fonction holomorphe dans cette étendue.

Loi de la permutation des racines autour des points critiques.

32. Supposons qu'au point a Téquation admette une racine b d'ordre n; en un point ^i, voisin de a, elle aura n racines voisines de b. Désignons ces racines par

^l> tiff Uif * . . f Un*

Si la variable z part de Zt, la fonction ayant la valeur initiale u^ et décrit un petit cercle autour du point a dans le sens positif, la fonction reprend sa valeur primitive u^^ ou bien, comme sa variation ne peut être que trës-petite, elle se change en une autre des n racines précédentes, par exemple en t/j. Dans le premier cas, la racine iii, se reproduisant elle-même, est une fonction monotrope de z dans le voisinage du point a. Dans le second cas, si l'on décrit le cercle une seconde fois avec la valeur initiale u^ obtenue après le premier tour, il est impossible que l'on retrouve «2» car le mouvement inverse ramènerait Ufi on arrivera donc à i/f ou à une nouvelle racine u^. Dans le premier cas, les deux racines Ut et a^ se permutent quand la variable z tourne autour du point a. Dans le second cas, si l'on décrit le cercle une troisième fois avec la valeur initiale u.^ obtenue après le second tour, il est impossible que l'on retrouve 1/3 ou «2» car le mouvement inverse ramènerait W2 ou u^ ; on arrivera donc à w, ou à une nouvelle racine u^. Dans le premier cas, les trois racines a,, 1^2» "3 forment ce qu'on appelle un système circulaire, ce qui veut dire que, si Ton place les trois quantités sur un cercle, chacune d'elles se change en la suivante, quand ^ tourne autour du pointa. Supposons qu'en continuant de celte manière on arrive à la dernière racine u^; en décrivant le cercle encore une fois, on reviendrait nécessairement è la première racine m,, et les n racines voisines de b formeraient un seul système circulaire. Ainsi :

Théorème VI. — Lorsqu^au point a Véquation admet une racine b d'ordre n, les n racines voisines de b pour une valeur de z voisine de a forment un ou plusieurs systèmes circulaires.

Manière d'obtenir les systèmes circulaires. 33. Si Ton pose s = a -f- s', u = b-h u'^ Téquation prend la forme

(i) /(a 4- z\ b -h u') = lk^^u'^z'^ — o;

le premier membre est une somme de termes contenant les deux variables infiniment petites z' et u' a des puissances entières, ou une seule d*entre elles. Il y aura un terme au moins indépendant de u' et un terme au moins indépendant de z\ sans quoi le premier membre de l'équation serait divisible par une puissance de u' ou par une puissance de z\ Parmi les termes indépendants de z\ celui qui contient u' au degré le moins élevé est du degré n, puisque Téquation admet n racines égales à zéro pour z'= o. Considérons d'abord le cas particulier où, parmi les termes indépendants de u\ il y en a un contenant z' à la première puissance; en groupant les deux termes dont nous venons de parler, on mettra l'équation sous la forme

tous les termes du polynôme (f[z\ u') étant infiniment petits par rapport a l'un ou à l'autre des deux premiers. Si l'on pose

les deux premiers termes contiendront z"" en facteur, et chacun des termes suivants une puissance de z" supérieure a n; on pourra donc diviser par z"" tous les termes de l'équation, qui deviendra

(3) (K-v-'Rv-)-^ z"^[z\v)^o,

^[z'\ v) élant un polynôme entier en z" et^. Pour 5"= o, l'équation (3) se réduit a l'équation binôme

(4) A4-Bi'»~o, ou >":=— -jT-,

OD en déduirait

et la quaatité infiniment petite s, — i\ serait égale à la quantité finie Cj — f,; on a donc s\ = Gj, et la racine u\ se change en u', . De mémo Uj se change en u', , u', en u^ u„ en u\ .

Remarquons que la formule u = vz'", dans laquelle c désigne l'une quelconque des racines de l'équation (3), représente le système circulaire des n racines de l'équation (a), quand on fait tourner la variable z autour du point a.

34. Considérons maintenant le cas où, dans l'équation (i), le premier terme indépendant de u' contient z' à une puissance l supérieure à la premiëre. Nous établirons d'abord le théorème suivant :

Théorème VII. — Le groupe des n racines voisines de zéro se décompose en sous-groupes tels, que le rapport de chacune des racines d'un même sous-groupe à une même puissance commensurable de s' ait une limite déterminée, finie et différente de zéro.

Pour démontrer ce théorème, nous suivrons la méthode ingénieuse qui a été employée par M. Puiseux dans son remarquable J/emoircjur lesfi>nctions atgébrigues [Journal de Mathématiques ptires et appliquées, t. XV; i85o). Traçons dans un plan deux axes rectangulaires Oot, Oj9

{fig. 3i), et marquons les points qui ont pour coordonnées les exposants a et J3 dans les différents termes de l'équation

Aux termes indépendants de z' correspondent des points situés sur Taxe Oa; le premier d'entre eux a une abscisse égale à n. Aux termes indépendants de w' correspondent des points situés sur Taxe Oj3; le premier d'entre eux a une ordonnée égale a /. Concevons une droite mobile appliquée d'abord sur l'axe Oa; faisons-la tourner autour du point n de gauche à droite, jusqu'à ce qu'elle rencontre un ou plusieurs autres points; faisons-la tourner ensuite autour du dernier de ces points, toujours dans le même sens, jusqu'à ce qu'elle rencontre un ou plusieurs autres points; en continuant de la sorte, la droite arrivera à une dernière position ou elle passera par le point /, situé sur l'axe 0J3. Nous formerons ainsi une ligne brisée convexe allant du point n au. point /, et telle que la droite que l'on obtient en prolongeant chacun de ses côtés laisse au-dessus d'elle tous les autres points. Nous verrons que chacun des côtés de cette ligne convexe donne un sous-groupe de racines jouissant de la propriété énoncée.

Posons u' = çz'^f i^ étant une quantité finie qui ne s'annule pas avec z'; le degré du terme Aapu'^z'^ par rapport à z' est ap. -4- ]3. Nous remarquons que la droite j — j3 = — [i{x — a), menée par le point (a, j3) et ayant pour coefficient angulaire — fx, coupe l'axe 0]3 en un point dont l'ordonnée «fji + |3 est égale au degré du terme; il en résulte que les termes de même degré sont en ligne droite et que la droite s'éloigne de l'origine parallèlement à elle-même, à mesure que le degré du terme augmente.

Considérons d'abord le premier côté de la ligne convexe, celui qui part du point {« ^ n, ]3 ~ o); sur ce côté se trouvent plusieurs points auxquels correspondent des termes de même degré

que nous supposerons ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de u'; nous désignerons ici par Aa^u'^z'^ un terme quelconque intermédiaire de ce premier groupe. Ces termes étant du même degré, on a

d'où

ainsi l'exposant [i est un nombre commensurable ^- Posons z' = 2"^, d'où a' = (^z"^, les termes du premier groupe seront du degré

par rapport à z" et les autres termes d'un degré plus élevé. On pourra donc diviser par z""^ tous les termes de l'équation (i), qui deviendra ainsi

(5) c«'( Al'"— -+- 2A«?('*— -h A..^,) -4- ^Xi/, 2") :=z o,

9(i^, z") étant un polynôme entier en i^ et s". L'équation

(6) At'»— -f-SA.^i''»—' 4- Aa.?, — o

admettant n — «< racines finies et différentes de zéro, on en conclut que, pour une valeur très-petite de z'\ l'équation (5) admet /i — «i racines voisines respectivement des précédentes, ce qui donne pour j'é-

quation (i) un premier sous-groupe de /i — «, racines de la forme i^z"*,

et telles que le rapport de chacune d'elles à z'^ tend vers une limite finie et différente de zéro.

Considérons maintenant le second côté de la ligne convexe; il donne une nouvelle manière de constituer un groupe de termes

d'un degré moindre que tous les autres. On a

a, u. -4- 3, = ccu. -4- (3 == a, p. -4- 3, ,

d'où

l'exposant jx est encore un nombre commensurable-» mais il a une

valeur plus grande que la précédente, puisque, à mesure que le côté tourne dans le sens indiqué, la valeur de u, augmente. On posera.

A une racine simple de l'équation (lo) correspondent/» racines simples de Téquation (9), fournies par l'équation binôme v** = X; ces racines

ont même module, et nous les supposerons rangées dans un ordre tel que leurs arguments soient en progression arithmétique ayant pour

raison -— • L'équation (5) admet p racines simples respectivement voisines des précédentes

et chacune d'elles est une fonction holomorphe de z" dans le voisinage de z" -- o. L'équation (1) admet ainsi les/> racines

u\^(v,-\-î,)z''f\ h\t-.{v,^z,)z''^,.,., u'^^-(v^-\-Zp)z''^,

Les valeurs approchées

forment un système circulaire; car, lorsque la variable z tourne autour du point a, l'argument de jz"' augmente de ^^—\ ceci revient à rempla-

cer ^, par ^2, {^2 par ^s <> par ^i- On verra, comme précédemment

(n**33), que les valeurs exactes jouissent de la même propriété. Ce système circulaire de p racines de l'équation (i) peut être représenté par la

formule u' = vz'^, s? étant l'une quelconque de celles des racines de l'équation (5) qui, pour z' — o, se réduisent k une racine de l'équation binôme v'* ^ X, et étant une fonction holomorphe de z".

Ainsi chacune des racines simples de l'équation (10) donne un système circulaire de/? racines.

36. Supposons maintenant que l'équation (10) ait une racine multiple X d'ordre n'\ chacune des racines f^,, (^o ^p de l'équation binôme v^ '=^X sera une racine d'ordre n' de l'équation (9); pour une

48 liVUE I. - CHAPITRE 11.

Targument du second augmente de --~^; ainsi les p premières racines

diffèrent par le premier terme; ensuite, de p en/?, elles diffèrent par le second terme. Après pp^ tours, la fonction w reprend sa valeur primitive, et l'on retrouve les mêmes racines dans le même ordre. On peut représenter ce système circulaire depp' racines par la formule

Il ::- i'*,

V étant une fonction holomorplie de z" ~- z\^^' ne s'annulant pas pour

On continuera l'application de cette méthode jusqu'à ce qu'ooxaitdes expressions approchées distinctes pour les n valeurs infiniment petites de u\ Cela arrivera nécessairement. Nous avons vu, en effet, que ces n racines se partagent généralement en plusieurs sous-groupes qui correspondent aux différents côtés d'une ligne brisée convexe; les kfp racines d'un sous-groupe se ramènent à l'équation (9) et, plus simplement, à l'équation (10) du degré /t|. Une racine de cette équation est d'un ordre n' de multiplicité inférieur ou égal à X'i et par conséquent à A'i/7, et par suite inférieur à n; ainsi le nombre n' des racines infiniment petites de l'équation (11), à laquelle on arrive après la première opération, est inférieur au nombre n des racines infiniment petites de l'équation (i). Après la seconde opération, le nombre n' sera remplacé par un nombre n" encore plus petit; en continuant de cette manière, on arrivera à une équation n'ayant qu'une racine infiniment petite, et la séparation des racines en systèmes circulaires sera effectuée.

Pour que la séparation ne s'effectuât pas, il faudrait que, à partir d'un certain rang, toutes les équatibns successives auxquelles on est conduit eussent le même nombre de racines infiniment petites. Afin de simplifier les notations, supposons que ceci ait lieu dès la première ' opération; pour que n' = n, il faut que k^ = n, et, par suite, p = tf a, = 0, |3| = l = nq; la ligne convexe se réduit a une seule droite; l'équation (10), qui est alors identique à l'équation (9) et du degré w, devant admettre une racine d'ordre n, est de la forme A(f^ — r»)" = o. On a posé u' = rs'^; l'équalion (5) devient

W UVRB I. — CHAPITRE II.

Quand, pourjs'r-.-o, réquation (i3) n'a qu'une racine nulle, elle admet dans le voisinage du point a une racine trës-petite, qui est une fonction, bolomorpbe de s; le point a est, dans ce cas, un pôle. Hais si, pour z = o, la racine u' = o est multiple et d'ordre n, le point a sera un point critique. On appliquera à l'équation (i3) la méthode indiquée précédemment; les n racines infiniment petites formeront un ou plusieurs systèmes circulaires, dont chacun sera représenté par la formule

u' zrz vz'^ f 9 étant une fonction holomorphe de z" = z'^ qui ne s'annule

pas avec s''; chacun d'eux donne un système de p valeurs infiniment

grandes de a, représentées par la formule m = - z' '^ = wz' ^ , w étant

une fonction holomorphe de z**^ ne s'annulant pas avec z". Le nombre des pôles et des points critiques où des racines deviennent infinies est au plus égal au degré de Zo, c'est-à-dire \m' — m. Enfin, pour étudier les racines quand la variable z est très-grande,

on pose s = 77) et l'on donne à %' des valeurs très-petites; l'équation

proposée se transforme en une équation algébrique entre z' et u\ on lui appliquera la méthode précédente; le point z' = o dans le plan sur lequel on figure la nouvelle variable z\ et par conséquent le point (V sur la sphère, sera un point ordinaire, ou un pôle, ou un point critique.

Nous avons appelé, d'une manière générale, points singuliers les valeurs de la variable où la fonction cesse d'être holomorphe. Dans l'étude des fonctions algébriques, pour toutes les valeurs finies ou infinies de la variable js, en d'autres termes sur toute la sphère, nous n'avons rencontré que deux sortes de points singuliers : 1^ des pôles, c'est-à-dire des points où une branche de la fonction u devient infinie, de manière toutefois que

la branche correspondante de la fonction - reste holomorphe dans le

voisinage de ce point; 2*^ des points critiques tels que, dans le voisinage

de chacun d'eux, une branche de l'une des fonctions i^ ou - acquière un

nombre fini de valeurs différentes qui se permutent les unes dans les autres quand la variable tourne autour de ce point, et qui deviennent égales en ce point. Nous appellerons dorénavant points critiques algébriques les points critiques qui présentent ce caractère, et nous corn-

parcouru plusieurs fois. Ainsi» sur la figure, le chemin z^gz se ramène au lacet (ai) décrit dans le sens positif et suivi de la droite z^^z; le chemin z^hz se ramené aux deux lacets (a,) et (a^) décrits dans le sens négatif et suivis de la droite z^z. Si la droite ^o^ passait par un point singulier, on éviterait ce pointa l'aide d'un demi-cercle très-petit d'un côté ou de l'autre.

Cela posé, concevons que la variable z parte du point z^^ la fonction ayant la valeur initiale i^o> et décrive la droite jzo^i» I^ fonction acquerra en ^1 une certaine valeur. Supposons que cette racine appartienne à un système circulaire dep racines se permutant autour du point critique a; quand la variable aura décrit le petit cercle autour du point a dans le sens positif, on obtiendra en z^ une autre racine; si l'on revient ensuite à Zo par la droite z^Zq^ la fonction aura en z^ une valeur Ut différente de la première. Si l'on décrit une seconde fois le même lacet avec la valeur u^f on retrouvera d'abord en z^ la racine précédente; un second tour autour du point critique a dans le sens positif amènera une nouvelle racine, et, en revenant au point j^q, on aura une troisième valeur Us, et ainsi de suite. Quand le lacet aura été parcouru p fois successive- ' ment dans le sens, positif, on reviendra a la valeur initiale u^. De cette manière, on peut dire que le lacet (a) unit \esp racines u^f c£|, Wj, . . . , Up^^. Pour plus de clarté, nous regarderons ce lacet (a), relatif à un point critique d'ordre /?, comme la réunion de p lacets binaires unissant chacun deux racines, et nous les désignerons par

en les supposant tous décrits dans le sens positif. Les mêmes lacets, décrits en sens négatif, seront

Nous les avons écrits en ordre inverse, tels qu'ils se présentent quand on les parcourt successivement. Si /> = :2, on aura les deux lacets binaires positifs (a)^» (a)^, conduisant^ le premier de la racine z/q à la racine tt|, le second de u, à i^o* Le premier lacet négatif conduit aussi de u^^u^, le second de £/o à </(.

Un lacet relatifs un autre point critique unira d'autres racines entre

de la racine i^o à ia racine u„, il en est un dont les lacets successifs donnent au point 3o des racines dont les indices vont en croissant; supposons, en effet, que Ton veuille revenir de la racine u„ à la racine ii« par des indices décroissants; d'après la manière même dont on a choisi les lacets fondamentaux, la racine u„ n'est unie qu'à une seule racine d'indice inférieur par un lacet fondamental; soit u^ cette racine; le dernier lacet sera {a„)l; de même, la racine ua n'est unie qu'à une seule racine d'indice inférieur par un lacet fondamental ; soit Ug cette racine; l'avantdernier lacet sera {aj^)g; on continuera de cette manière jusqu'à ce qu'on arrive à la racine Uq. On obtient ainsi un chemin formé de lacets fondamentaux et ramenant de la racine u^ à la racine u^ par une série d'indices décroissants; ce chemin décrit dans l'autre sens conduit de u^ à u^ par des indices croissants; nous le désignerons par (V);.

Tous les autres chemins formés de lacets fondamentaux et conduisant de Uo à u„ peuvent se ramener à ce chemin particulier par des suppressions de lacets parcourus chacun deux fois successivement dans des sens contraires. En effet, supposons que dans un autre chemin l'indice passe par un maximum />, c'est-à-dire par une valeur plus grande que la précédente et la suivante; puisque la racine Up n'est unie qu'à une seule racine u* d'indice inférieur par un lacet fondamental, on arrivera à la racine Up par le lacet (a^)^; pour que l'indice diminue ensuite, il est nécessaire que l'on parcoure le même lacet en sens inverse; la ligne fermée (apY^-i- (a^)^, composée du même lacet parcouru deux fois successivement dans des sens contraires, se réduit évidemment à un point et peut être supprimée. Si, après cette suppression, l'indice passe encore par un maximum /?', on aura la partie (A//)^ + (a//)^f composée du même lacet parcouru deux fois successivement dans des sens contraires et que Ton pourra supprimer. Après plusieurs suppressions de cette sorte, on arrivera au chemin (V)ô» qui conduit de la racine Uo à la racine u„ par une suite d'indices croissants. Il en résulte que le chemin (Y j» est celui qui conduit de la racine Uq à la racine u^ par le moindre nombre de lacets fondamentaux.

Considérons les deux chemins (V)" et (V)J, formés comme nous venons de le dire et conduisant de la racine initiale u^ aux deux racines u„ et Up. Soit g le plus grand indice commun aux deux séries d'indices croissants; d'après ce que nous avons dit, tous les indices précédents

la sorte se ramènent à ceux qui correspondent aux valeurs finies de z. Nous pouvons, en effet, concevoir le lacet 0' comme formé d'un arc de grand cercle et d'une circonférence très-petite décrite autour du point 0'; à ce lacet correspond dans le plan un circuit formé d'une droite ZqI {fig. a3), d'une circonférence d'un très-grand rayon ayant

Fig. 23.

pour centre le point 0, et de la droite Iz^ parcourue en sens inverse; ce circuit enveloppe tous les points critiques du plan, et il se ramène k la suite des lacets (ai), (a,)» (a,),. . ., parcourus dans un ordre déterminé. On peut donc remplacer chaque lacet binaire (0')t par la suite des lacets binaires (aj, («a), («s),. .., qui entrent d'une manière effective dans le circuit correspondant, c'est-à-dire dans le circuit parcouru avec la racine u^ prise comme valeur initiale; seulement nous rappelons que le circuit est décrit dans le sens positif, lorsque le lacet (0') est décrit dans le sens négatif pour un observateur placé en 0' (n^ 17).

Quand on change le signe de jz, les trois valeurs de u changent de signe; il en résulte que deux racines se permutent aussi autour du point 6, et que ces deux racines ont en z^ des valeurs réelles et négatives, voisines de ~ I .

Nous prendrons comme origine des lacels le point z = o. Pour js = o, les trois racines de l'équation sont Uq = o, m, = \/3, w, = — ^. Lorsque la variable z décrit la droite O^i » la fonction ayant la valeur initiale "o = o, Téquation

montre que u conserve une valeur positive et par conséquent acquiert en Z| une valeur voisine de i; quand la variable tourne ensuite autour du pointa, cette racine se change en une autre racine positive» voisine de i; la variable revenant de z^ à 0, cette nouvelle racine» différente de la première, reste positive et par conséquent acquiert au point 0 la valeur u^ z=i \[%. Ainsi le lacet [a) unit les deux racines u^ eti^|. De même le lacet (6) unit les deux racines Uq et u^* Les deux lacets binaires (a)^, [b)l forment un système de lacets fondamentaux.

Si l'on pose jg == — , w = — , l'équation devient

pour les valeurs infiniment petites de z\ les trois valeurs de u' sont infiniment petites et ont pour valeurs approchées

«' = -y/iz'^

elles se permutent circulaireinent» quand Li variable tourne autour du point js'= o. Ainsi, sur la sphère, le point 0' est un nouveau point critique; le lacet, qui part de l'origine 0 et enveloppe le point 0', unit les trois racines Wq, w,, i^2- Pour voir dans quel ordre s'effectue la permutation, considérons le circuit qui sur le plan correspond au lacet (0') et supposons que le rayon du circuit ait un argument compris entre tt et 2 7r; le circuit, décrit dans le sens positif, peut être remplacé par la suite des deux lacels (a) et [b). Si l'on part du point 0 avec la valeur initiale Uq, le lacet (a) changeant u^ en u^ et le lacet (6) étant neutre

par rapport à celte racine, on revient en 0 avec la racine Mi. En décrivant le circuit une seconde fois, comme le lacet [a) change U| en Uq et ensuite le lacet (6') m© en Wa, on revient en 0 avec la racine Ma; en décrivant le circuit une troisième fois, on ramène la valeur initiale Uq. 'Nous avons ainsi les trois lacets binaires (0') J, (0') J, (0')5, décrits dans le sens qui correspond au mouvement positif sur le circuit. On pourrait former un système de lacets fondamentaux avec les deux lacets (0')J, (0')î, ou avec les deux lacets (a)*, (0')?.