Soit réquation différentielle

(i3) ^ = ^/FTir) = )/G(u^a)(u^b){u^c){u^dh

dans laquelle le polynôme placé sous le radical est du quatrième degré, et à laquelle on joint la condition initiale i^ = o pour jz = o, le radical ayant une valeur déterminée. La dérivée cesse d*être une fonction holomorphe de u, lorsque la fonction intégrale u arrive dans le voisinage de Tun des points critiques a» b^ c^ d du radical, ou lorsqu'elle devient infinie. Les deux circonstances se présentent ici; car nous savons (n® 113) que» lorsque le polynôme placé sous le radical est d'un degré supérieur à deux» l'intégrale définie

conserve une valeur finie sur toute la sphère. On verra» comme dans

Pexemple précédent, que, lorsque la variable z arrive dans le voisinage de l'un des points où u acquiert Tune des valeurs a, i, c, d^ la fonction u reste une fonction holomorphe de z. Pour voir ce qui se passe lorsque la variable z arrive dans le voisinage de l'un des points a où a devient

infinie, nous poserons z=zol-\-z\ u = -j-, Téquation différentielle

devient

du'

il faut y joindre la condition initiale u' =o pour z' = o. La fonction u' étant holomorphe dans le voisinage du point 2' = o,-qui est un zéro simple de cette fonction, le point z = a est un pôle simple de la fonction u. On conclut de là que la fonction u^ définie par Téquation différentielle (i3), est une fonction méromorphe de z dans toute rétendue du plan.

L'intégrale définie (i4) a deux périodes û)=2A— 2B, (d'=tiA— aC, A, B, G étant les intégrales suivant les droites Oa, Ob, Oc» avec la valeur initiale du radical (n"* 113); à chaque valeur de u correspondent deux valeurs de js, savoir z et 2A— Zy augmentées de multiples quelconques des périodes. Ainsi u est une fonction de z doublement périodique et du second ordre.

Considérons maintenant Téquation différentielle

(16) ^rr=y/^{^^a){U-b)(U--c),

dans laquelle le polynôme placé sous le radical est du troisième degré; la fonction intégrale jouit des mêmes propriétés; elle est méromorphe dans toute Télendue du plan, doublement périodique et du second ordre; seulement, au lieu de deux infinis simples, elle admet un infini double. En effet, si a est un point où u devient infinie et si Ton pose

s ~ a 4- z', M = — . réquation différentielle devient

fli^f

— ;■ — -• ^Cmu'(i — aa')(i — bu'~)(i — eu'];

ftZ

En vertu du théorème du n^ 213» la fonction u' et, par conséquent, la branche correspondante de la fonction u acquièrent n — i valeurs différentes autour du point i? = a, qui est un point critique algébrique pour cette branche de la fonction. Supposons maintenant que le polynôme soit d'un degré impair 2/1 — i; on a l'équation transformée

dvS ~v^Ga'(i — att')(i— *«')...

dz' 11'—^

que l'on réduit à

du" ___ — iv^G(i — af<^M(i — 6/i^»)...

Iz'' " 11^"-*

en posant u'^^u''^; la fonction u" et, par conséquent, la branche correspondante de la fonction u acquièrent :i/i — 3 valeurs différentes autour du point z = a, qui est un point critique algébrique par rapport \ cette branche de la fonction.

352 LIVRE V. - CUAPITRB m.

deux premières correspondent les deux points critiques a et c (fig. 77), aux deux autres les deux points critiques h et d\ un rayon vecteur»

Rff. 77-

tournant autour de l'origine dans le sens positif, les rencontre dans Tordre a, b, c^ d. Nous prendrons comme première période 2û) = a A — aC = 4A; d'où

M r du

2~Vo ff^«

l'intégrale rectiligne relative k la droite Oa étant évaluée avec la valeur initiale Au = -h 1 du radical. On en déduit

Nous prendrons comme seconde période, soit eo'^r^B— 2Â, soit

cd' ~ 2 A — 2B, de manière que, dans le rapport — > le coefficient de 1

soit positif. On a ainsi

On en déduit, dans les deux cas,

Puisqu'à chaque valeur de u correspondent seulement deux valeur

En faisant z' = -i on reconnaît qu'il faut prendre le signe +; on

obtient ainsi la relation

'») <'-t)-hÎ

La fonction X(z), définie par l'équation différentiel le (i), dépend des deux constantes k et g^ c'est-k-dire du module et du multiplicateur. Les formules (a) et (3) donnent les périodes ^cd, (ù' par des intégrales définies. Nous avons choisi ces deux périodes de manière que» dans le

rapport —y le coefficient de i soit positif. Nous pouvons donc» avec les

deux constantes (ô et (ô\ composer une fonction 6 (z) à l'aide d'une série convergente, et, au moyen des fonctions 0 qui s'en déduisent (n® 74), former une fonction inéromorphe doublement périodique

.»■ lî)

Ces deux fonctions méromorphes, doublement périodiques, aux mêmes périodes, ayant les mêmes zéros et les mêmes infinis, sont dans un rapport constant (n^ 152); comme elles sont toutes deux égales à

l'unité pour z =^ -y elles sont égales entre elles. On en conclut que la

fonction définie par Téquation différentielle est la même que la fonction définie par les fonctions $.

La fonction fi.

223. Dans cet ordre d'idées, nous définirons la fonction /x par Téquation

à laquelle on joint la condition fx(o) ~ i.

Cette fonction pourrait cesser d'être monotrope dans le voisinage des

points OÙ la fonction \{z) devient égale à db i ou infinie. Considérons l'un des premiers points, par exemple le point -; posons z = - -h z';

la fonction X f- -f- z'\ est paire, puisque X i- — z'\ - X (^* -h s' j ;

son développement ne contiendra donc que des puissances paires de z\ et Ton aura

4/, -Xf^V V^ =2'(^ -4-6«'»-f-. .),

IX (^-^Z'\ =r3'( A -f-BV-- -+-...).

On en conclut que la fonction |x(z) reste holomorphe dans le voisinage du point 2 = -•

Considérons maintenant Tun des seconds points, par exemple le

point ~; posons z = — -i-z'; nous aurons

"■' "^-O-s/'-^'lï*'')-

La fonction fi{z) reste aussi méromorphe dans le voisinage de ce point. On conclut de là que la fonction ii{z) est méromorphe dans toute retendue du plan.

Si la variable z, partant de l'origine, décrit deux lignes opposées, la

fonction fjL(js) = y/\ — X" {z) prend des valeurs égales aux points symétriques par rapport à l'origine; ainsi la fonction est paire, et l'on a

(12) lx{—Z)--rzix{z).

De la relation (ro), on déduit

3»6 LIVRE V. - CHAPITRE ffl.

pour les valeurs de z' inférieures k un certain module; et cette rela-

lion est générale; car si la fonction est constante dans une

certaine étendue, elle est constante dans toute l'étendue du plan. On en conclut la relation

De la relation (11), on déduit de même d'où l'on conclut

(l4) fx(Z4-û)')rr.--^(z).

Ainsi la fonction |x(z) admet les deux périodes 20), cù + c3^ Ses infinis

sont ceux de À (2); ses zéros les valeurs z = - -h mw + m'(ù\ pour

lesquelles X(z)=:i!=i. Le parallélogramme (2a>, a> + a>'), ne contenant que deux infinis, est bien un parallélogramme élémentaire.

La fonction ii{z), définie par l'équation (9), est la même que la fonction définie par la formule (n^76)

puisque ces deux fonctions méromorpbes, doublement périodiques, aux mêmes périodes, ont les mêmes zéros et les mêmes infinis, et sont égales à l'unité pour z = o.

La fonction v .

224. Nous définirons de même la fonction v(js) par l'équation

(i5). y[z) = s^-k^nz),

à laquelle on joint la condition initiale v (o) = i

358 UVRB V. — CHAPITRE m.

De la relation (17), on déduit de même

et, par suite,

(19) v{z-hM') = — v{z).

Des deux relations précédentes, on conclut

Ainsi la fonction v{z) admet les deux périodes as aco'. Ses infinis sont ceux de X(z), ses zéros les valeurs z = h mcù -h m'(ù\ pour

lesquelles \[z) ^ ±1 y Le parallélogramme construit sur les périodes 0), 2Gi)', ne contenant que deux zéros et deux infinis, est bien un parallélogramme élémentaire.

La fonction s^{z)^ définie par Téquation (i5), est la même que la fonction définie par la formule (n°76)

^^ e.ioj b[z)'

puisque ces deux fonctions méromorphes, doublement périodiques, aux mêmes périodes, ont les mêmes zéros et les mêmes infinis, et sont égales à Tunité pour z =. o.

Relations entre les fonctions elliptiques.

225. Nous pouvons retrouver directement les relations que nous avons obtenues (n°77) entre les fonctions elliptiques à Taide de leurs expressions au moyen des fonctions 0.

\^ Nous remarquons d'abord que les deux fonctions ^ (^ + ^ )> ^~^i

ayant les mêmes périodes ^gj, &>', les mêmes zéros et les mêmes infinis, et étant toutes deux égales à l'unité pour z = o, sont égales entre

360 LIVRE V. - CHAPITRE m.

Si Toa choisit, comme nous Tavons supposé, la seconde période de manière que dans le rapport — le coefficient de i soit positif, la considération des fonctions Q nous montre que les seconds membres sont affectés du signe — . On a donc

('4) ^»(' + t)=^T-3ÛI]' H"^t)=^-'?(Ï)

Des formules précédentes, on déduit

226. Remarque. — D'après ce que nous avons dit dans les deux numéros précédents, les fonctions Vt =F ^ (2)9 Vi =P k\ [z) restent monotropes dans le voisinage des valeurs de z pour lesquelles \{^) devient

égale à d- I ou à ±: Tî mais elles cessent de l'être quand \{z) devient

infinie. Toutefois les produits ou les quotients de ces fonctions deux à deux sont méromorphes pour toutes les valeurs de z. Parmi ces combinaisons, nous avons étudié spécialement celles que nous avons appelées |x et v; nous ne dirons que quelques mots des autres. Remarquons d'abord que les fonctions

ix\z) i-+-X(z)'

\-\-h'k[z) ï-h/fl i-hkliz)

s'expriment rationnellement à l'aide des trois fonctions elliptiques ordinaires; elles admettent les deux périodes 2», 2a>'; comme elles n'ont que deux zéros dans le parallélogramme (20), 20.)'), ces deux périodes forment bien un système élémentaire.

LES FONCnONS BLUPT. DÉFINIES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 361

CoDsidérons maintenant la fonction

kk(zY

dont les zéros sont- -h/nw 4-/w'ci)', et les inGnis - — — -\- hkù -h m' cù' . D'après Tune des équations du n® 223* on a

et par suite

9 (Z -h û)) rr: — 9 (— 3 ).

D'après Tune des équations du n^ 224, on a aussi et par suite

On en déduit

Mais d'autre part

il faut prendre le signe — ; car, si Ton prenait le signe +, la fonction admettrait les périodes 2a>, (ù\ et n'aurait qu'un zéro et un infini dans chaque parallélogramme, ce qui est impossible. De la relation

(p(a 4- aw)---- — <p(z),

on déduit

la fonction admet les deux périodes 4^» ^'l le parallélogramme construit sur ces périodes ne renfermant que deux zéros et deux infinis est bien un parallélogramme élémentaire.

362 JUVRE V. - CHAPITRE ID.

Réduction du multiplicateur à l'unité.

227. La fonction elliptique X [z) déGnie par Téqualion difierentielle

(I) ^ =ffN/(î~"^)(i~ *'"')•

à laquelle on joint les conditions initiales an.- o, ^ = i pour js = o,

dépend des deux constantes g et ^, qui sont le multiplicateur et le module. Nous représenterons la fonction par le symbole ^(z»^, jt), en indiquant ainsi les deux constantes g ei k dont elle dépend.

Lorsque le multiplicateur est égal à Tunité, Téquation différentielle devient

(26) ' g^^(7~M^)ri^/f>i;^;

la fonction X(z, i, k) qu*elle définit sera représentée simplement par le symbole X (r, k)^ en sous-entendant le multiplicateur i . On peut toujours ramener la fonction elliptique X(z, g, k) à cette fonction elliptique particulière; car, l'équation (1) se mettant sous la forme

\ // <Hgz)

on a

Si Ton appelle 2cj, cj' un couple de périodes de la fonction particulière X(z, k), la fonction ^{z, g,k) ou X(^z, A:) admettra les périodes — 5 — • On en conclut que le rapport des périodes est indépen-

(lani du multiplicateur; c'est ce qui résulte d'ailleurs des formules (3) el (5) du n°221.

Cas où le module est réel^ positif et inférieur à l'unité.

228. Nous supposerons aussi que le mulliplicateur g est égal a Tunité. La première période

Jo V^(l— M')(l — k^U")

est réelle et positive. Faisons décrire à u successivement les deux lacets (a) et (c) ; u croissant de o à i , jz croit de o à -\ u décroissant de i à o, après avoir décrit un petit cercle autour du point critique a, z croit de - à 6); u variant ensuiie de o à — i, et le signe du radical ayant

changé, z croit de &> à — ; u croissant de — i à o, après avoir décrit un

petit cercle autour du point critique c, z croit de — à âco, et ainsi de

suite indéfiniment. On en conclut» réciproquement, que la fonction u = \[z) est réelle et comprise entre — i et -^ i pour toutes les valeurs

réelles de z\ elle se comporte comme un sinus; z croissant de o à -9

u croit de o à \\ z croissant de - à ci>. a décroit de i à o; z croissant

de O) à 2Gi), u devient négative et varie de o à -— i et de — i à o; puis elle reprend les mêmes valeurs périodiquement.

II en est de même de la fonction ]x [z) — y/i — X* [z). Quand z croît deoà-9jx(2) décroit de i à o; z croissant de -à go, la relation

|x(--h5j = — P'f- — A fstit voir que jx(js) devient négative et décroît de o à — 1 ; J3 croissant de &> à 2ci), la relation |x(ci) -+- z) =— |x(z) montre que fx [z) croît de — i à o et de o à 4- 1 ; puis elle reprend les mêmes valeurs périodiquement; elle se comporte comme un cosinus.

Quant k la fonction v[z) = yjv — k^\^ [z), la quantité placée sous le radical ne s'annulant pas, elle reste non-seulement réelle, mais encore positive, pour toutes les valeurs réelles de z. Lorsque z croit

36i UVRB V. - CHAPITRE lU.

de o à - et de - ^ «, v(z) décroit de i à *'= V» — ^» pou>^ croître ensuite de A' à i ; puis la fonction reprend périodiquement les mêmes valeurs. Ici le module complémentaire jt'= v ( - j est positif.

229. Occupons-nous maintenant de la seconde période. Dans la formation du lacet (6), nous éviterons le point critique a à IVided'un demicercle très-petit a! ma*' [fig. 78)» de telle sorte que les lacets (a), (6),

Fig. 78.

(c), {d) se succèdent dans le sens positif. Nous prendrons comme seconde période ci>'= 2B — aÂ; dans la différence, la partie relative à la droite Oa! disparait; il ne reste que la partie relative i^ la droite ifhf parcourue deux fois, et Ton a

C^ du C^du

Ji v'(i- M'){i--Ar»ii») Ji V^

Sur ah la quantité v reste réelle et positive, mais jx devient imaginaire et égale à ± iyju* — i . Pour choisir le signe, nous poserons

M^i^H-z-e*', d'où fx^ \/(i — m)(i -♦- m)— r' c • ^2H-rc*'.

Quand le point u décrit le demi-cercle àmoT^ 6 varie de tt à o; jx devant

être positive en a' pour 9 = ;r, il faut prendre l'exponentielle e * ' : en o^

pour 0 = 0, la valeur de jx sera — ir^y/ 2 -+- r, et, par suite, sur a^l/

on aura — i\l u^ — i.

La valeur de la seconde période est donc

c*est une quantité de la forme (ù*'i, (ù" étant positive. De cette manière, dans le rapport-- = — i, le coefficient de / est positif» ce qui doit être

pour la formation de la fonction 6. La quantité q = e *" = e " , qui entre dans les séries, est réelle, positive et inférieure à l'unité, comme le module. Si Ton avait formé le lacet (6) avec l'autre demi-circonférence a'na", on aurait trouvé pour 2B — 2A une quantité égale à la précédente et de signe Contraire ; il faudrait prendre pour seconde période 0)'= 2A — aB.