Dans le cas actuel, Legendre posait u = sinç>, d'où

en désignant par A9 le radical ^i — k^ sin'9, et il regardait l'angle 9 comme Vcanplitude de la valeur z de l'intégrale définie. Jacobi, qui, avec Abel, a le premier considéré la fonction directe u, a été conduit, d'après cela, ^ représenter cette fonction par le symbole sinam^;, c'està-dire sinç) ou sinus amplitude z; il représentait la fonction |jl(z) par cosamz, et la fonction v(z) par Aam^;.

231. Nous avons vu comment, lorsque le module k est réel, positif et plus petit que i, il faut choisir les périodes. Il est facile d'en déduire une règle générale. Considérons un cycle C comprenant les deux points

critiques a et 6 {fig. 79); si l'on prend comme première période :iod le double de l'intégrale relative au lacet (a), on pourra prendre comme

366 LIVRE V. - CHAPITRE lU.

seconde période <ù' l'intégrale relative au cycle C parcouru dans le sens négatif. En effet, les deux intégrales o) et tù' sont des fonctions continues de kf tant que le point b, qui correspond à 79 reste à l'intérieur de

la courbe C; le rapport — = r+ si variant d'une manière continue

avec k et restant imaginaire, le coefficient 5, qui ne s'annule pas, conserve lé même signe; or, lorsque le point b vient en b^ sur Taxe Ox au delà du point a, si Ton forme le lacet {bo) avec le demi-cercle a'ma"^ le cycle G, décrit dans le sens négatif, peut être remplacé par la suite des lacets [b) + (a). L'intégrale correspondante est u'= 2B — :iA, et

nous avons vu que le rapport — a son coefficients positif; d'après cela,

quelle que soit la valeur du module A, le coefficient s sera positif; mais le cycle négatif C équivaut à la suite des lacets (&).+ (a) ou (a) + (fr),

suivant que l'argument de - est compris entre o inclusivement et n

exclusivement, ou entre tt inclusivement et 27r exclusivement : la seconde période est donc 2B — 2A dans le premier cas, 2A — 2B dans le second cas.

Périodes elliptiques.

232. Connaissant le module k et le multiplicateur g, nous avons déterminé par des intégrales définies (n^ 221) deux périodes élémentaires 26), w' de la fonction ^^[z), telles que l'on ait ^\-\ = f , ^/6) — 6)^\ ^ " et que, dans le rapport ~> le coefficient de i soit positif (n*^ 231). Nous avons appelé module complémentaire k' (n®77) celle des valeurs du radical =ti y i — >fc^ qui est égale k v ( - ) • Un système

de périodes 2ot)|, (ù\^ équivalent au point de vue de la division du plan par un réseau (n® 144), est représenté par les formules

dans lesquelles a, b^ a\ b' désignent des nombres entiers satisfaisant ù la condition ab' — ba'= ±. i. Parmi ces systèmes, considérons ceux

368 LIVRE V. - CHAPITRE m.

conçoit que, au moyen de Téquation (agjt dans laquelle on regarde q comme l'inconnue, on puisse calculer cette inconnue et, par consé-

quent, trouver le rapport — ; Téquation (3i) donnera ensuite o), et Ton

connaîtra cj et tù. L'équation (29), dont on élève les deux membres au carré, admet une infinité de solutions; car à des valeurs données de g" et de A correspondent une infinité de couples de périodes elliptiques : toutes les valeurs correspondantes de q satisfont à cette équation.

Modules égaux et de signes contraires.

233. Le module k n'entrant qu'au carré dans l'équation différentielle, si l'on remplace k par —A, l'équation différentielle reste la même, et, par conséquent, la fonction X définie par cette équation ne change pas; il en est de même des fonctions /x et v; mais les périodes elliptiques changent. Il est évident d'abord que la première période !i<ù = 4 A conserve la même valeur; quant à la seconde période, en appliquant la règle établie au n^ 231, on obtient, d'une part,

6/ — =h(2B — aA),

d'autre part,

en vertu des formules (3o), on peut prendre, dans tous les cas.

Plus généralement, si l'on désigne par :2Gt>, tù' l'un quelconque des systèmes de périodes elliptiques relatives aux constantes g et k^ les périodes équivalentes aw, = aw, w'^ = aw h- w' forment un système de périodes elliptiques relatives aux constantes ^ et — ^; car on a

et, en outre, le déterminant est égal à + 1 .

La formule (a) du n^ 73 montre que, quand on remplace o et &>' par tù et aco + a>', la fonction 6(z) reste la même; les formules (5)

du n^74 font voir ensuite que les fonctions Os{z)f 0(z) ne changent pas» et que les deux autres da(^)> ^f(^) deviennent <9a(jz], ^^1(2). Dans les formules (18) du n^ 76, on remplacera y/i par i^k.

Modules réciproques.