Si, dans l'équation différentielle

(I) ^^grVCi-a^jii-A-'ii»),

qui 9 avec la condition initiale u =^ o^ définit la fonction elliptique ^{Zf g, A), on remplace u par x' on obtient l'équation

avec la condition initiale u' = o pour z ^o; mais cette dernière équation définit la fonction elliptique X Iz, gk, r j • On a donc la relation

(32) . ' l[z,gk,^'^=:k'k(z,g,k), d'où l'on déduit

(33) f^Uf'gkf-A=v(z,g,k), vU.gk, JA=fj.{z,g,k).

En vertu de la relation (32), les deux fonctions X(z, g, k)^ X (z, gk, t\

admettent les mêmes périodes. Si ao), o)' sont des périodes elliptiques de la première, les périodes équivalentes 2ci>| = 2g) — 2»', cù\=cù' formeront un couple de périodes elliptiques de la seconde; car on a

et, en outre, le déterminant est égal à i . Le module complémentaire

370 LIVRE V. — CHAPITRE m.

de la nouvelle fonction sera

ijç'

En réduisant les multiplicateurs à l'unité, on mettra les relations précédentes sous la forme plus simple

Elles ramènent le cas oii le module k est réel» positif et plus grand que I à celui où il est plus petit quei.

On peut opérer cette transformation par le changement des périodes. Considérons les fonctions 9 et ^ formées avec les deux constantes Cl), = ci> — a)', &)'j = OD^ mises à la place de ci> et o)^; comme on a