CI

nous désignerons les fonctions anciennes par 0{^9 p)f ^{^tp)f et les nouvelles par 0 {z, — />), ^(^> ^P)* ^^ constante o)' ne changeant pas, les formules (6) du n^ 171 donnent immédiatement

^^(z,p) ^A'fP) >ll^(z,p) ^^t{z,p)

yV étant égale a e^ . Des relations (i3) du n^ 172, en tenant compte de la valeur du coeiïicient C (n^ 205), on déduit ensuite

(36) ^^(^*-p)^^^(^^-p)^ eiz.^p) ^ e,{z,^p) ^ /

1 xzH

Les formules ( 1 5) et (17) du n^ 173 déterminent le nouveau module et le nouveau multiplicateur

à Taide des formules (i4) de ce même numéro, on retrouve les relations (32) et (33).

LES FONCTIONS ELUPT. DÉFINIES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 37i

Modules complémentaires.

235. Nous avons vu (n^ 159) que la fonction v ( z •+- ^ "^ ^' M satisfait à Téquation différentielle

à laquelle on joint la condition initiale v = o pour z = o, le radical ayant la valeur initiale + i ; mais cette équation définit la fonction

X(z, igk\ pj» qui, d'après la relation (20), est égale àX:'X(j5, ig^ k)\

on a donc

d'où l'on déduit

Si 2(ùf tù' (fésignent des périodes elliptiques de la fonction \[z, g, k)j la fonction X(z, ig^ k') admettra les périodes élémentaires o), 2(ù'; les périodes équivalentes ao), = — 2ci>\ g)'^ = g) formeront un couple de périodes elliptiques de cette nouvelle fonction; car on a

et d'ailleurs le déterminant est égal k + 1 . En réduisant les muldpli-

372 LIVRE V. - GHAPITRB Hl.

cateurs à l'unité, on écrira les relations précédentes sous la forme (39) X{/..A-) = /i[^, ^(.•..Ar)=^^^. v(/s. A:)=^|^.

Elles permettent de trouver les valeurs des fonctions elliptiques, lorsque le module k est réel, positif et inférieur a Tunité, et que la variable est imaginaire et de la forme t"!, y étant réelle. Les fonctions ^{yi)t v {yi) sont réelles et plus grandes que i , la fonction X {yi) est imaginaire et de la forme Yi, Y étant réelle et pouvant prendre toutes les valeurs possibles. Les fonctions X {yi)^ jx {yi) sont analogues au sinus et au cosinus hyperboliques.

236. Si 2 0), <ù' sont des périodes elliptiques de la fonction X (jb, i), la fonction X (z, x, k) ou X(iz, k')^ admettant les périodes elliptiques -- 2 ci>^ GO , la fonction X (z, kf) admettra les périodes elliptiques — 2ci>'i, tùi. Désignons par Q {z^ k)^ d(z, k) les fonctions composées avec les deux constantes o, îù' relatives au module A, et par Q (z, kf)^ ^{zy k) les fonctions composées de la même manière avec les deux constantes ci>i = — (ù'i^ (ù\ = coi, relatives au module complémentaire k. Comme on a ^i = /?, p^ = q, la comparaison des formules (8) du n^ 74 et (6) du n^ 171 donne immédiatement les relations

. ,B [iz,k)^^,{z,k'), ^.{iz,k)^6(z,k');

^^""^ ^ B.[iz,k)r^.:^(z,k'), ^ {iz,k)^Q,(z,k');

e,{iz, k) = ^,{z, k'), ^, (iz, /r) = ~ e,{z, k').

Le nouveau module et le nouveau multiplicateur sont déterminés par les formules

et l'on retrouve ainsi les relations (Sg).

Lorsque le module k est réel, positif et plus petit que i, si l'on adopte les périodes elliptiques de la fonction X {z, k), telles que co soit réelle et positive, et o' de la forme (k)"i, &>" étant réelle et positive, les nouvelles constantes 04 = ~ od'i, <J^=r. o)/, relatives au module com-

plémentaire k ^ jouissent des mêmes propriétés. Quand z est réelle» toutes les fonctions 9 et ^ sont réelles, excepté ^^ <|uî ^st imaginaire et de la forme Ai, A étant réelle; quand z est imaginaire et de la forme j'ï, y étant réelle, elles sont encore réelles, excepté 0<, qui est imaginaire et de la forme Ai. Da\is ces deux cas, les formules (8) du n® 74 et (6) du n** 171 renferment, soit des sinus et des cosinus ordinaires, soit des sinus et des cosinus hyperboliques.

Autre transformation.

237. Nous avons vu (n^ 159) que la fonction fji f z h- - ) satisfait a l'équation différentielle

(40 5^=-ff^\/('-^')(' + |i^')'

a laquelle on joint la condition /x = o; mais cette équation définit la fonction elliptique X ( ^, — gk y p j ; on a donc

fX 2 +

d'où l'on déduit

Si 110), Cl)' sont des périodes elliptiques de la fonction X (z, g", jt), la fonction X ( z , gk\ ^ j admettra les deux périodes élémentaires 2 o.>« = 20), (jûi\ = ro + 0)', qui seront aussi périodes elliptiques de cette dernière

374 UVRE V. - CHAmiŒ UI.

fonction; car on a

Le nouveau module complémentaire est

En réduisant les multiplicateurs à Tunité, on mettra les relations précédentes sous la forme

Elles ramènent le cas où le carré du module est réel et négatif à celui où il est réel et positif.

On peut aussi opérer celte transformation par le changement des périodes. Considérons les fonctions 9 et ^ formées avec les deux constantes 0)4 = 0), o'^ T= o + cd\ mises à la place de o et ci>'; comme on a