CHAPITRE IV

238. Les exemples d'équations différentielles que nous avons considérées jusqu'à présent appartiennent tous à une même catégorie d'équations difTérenlielles, celles qui ne contiennent pas la variable z

et qui sont algébriques entre la fonction u et sa dérivée^* Désignons par U la dérivée ^ > et soit

(i) F(ii,U)r=o

l'équation proposée, dont le premier membre est un polynôme entier en u et U» du degré m par rapport à U et irréductible. On donne pour z = z^h valeur initiale Uo de la fonction u et la valeur Ue de la dérivée» Uo étant une racine simple de l'équation ¥{uo, U) = o et difîérente de zéro. En vertu du théorème général sur l'intégration (n^ 208), tant que la fonction algébrique U de u reste fonction holomorphe de u, la fonction intégrale u reste elle-même fonction holomorphe de z; mais cette fonction intégrale cessOt en général, d'être holomorphe par rapport à z, lorsqu'elle arrive dans le voisinage d'une valeur u, pour laquelle la fonction algébrique U devient infinie ou acquiert des valeurs multiples.

La fonction inverse est donnée par l'intégrale définie

^-r^da.

^ étant une fonction algébrique de u; elle est de l'espèce de celles que nous avons étudiées dans le Chapitre IV du Livre lU. Nous avons vu

qu*à chaque valeur de u, finie ou infinie, correspondent m valeurs de z, augmentées de multiples quelconques de certaines périodes. Lorsqu'il n'y a pas de période, ou lorsque toutes les périodes sont nulles, jz et u sont liées par une équation algébrique du degré m par rapport à z, et par rapport à u d'un degré que Ton sait déterminer (n'^ 136); mais, quand il y a des périodes, et c'est ce qui a lieu ordinairement, si la fonction intégrale u cesse d'être monotrope, lorsqu'elle arrive dans le voisinage d'une valeur u, qui est un pôle ou un point critique de la fonction algébrique U, comme à cette valeur de u correspondent une infinité de valeurs de z, il y aura, dans le plan sur lequel est figurée la variable jz, une infinité de points critiques pour la fonction u, et il pourra arriver qu'elle acquière une infinité de valeurs différentes.

239. Il est aisé de reconnaître que, dans toute l'étendue du plan, c'est-^-dire pour toutes les valeurs finies de jz, la fonction intégrale u n'admet que des points singuliers algébriques, savoir : des pôles ou des points critiques algébriques. Supposons, en effet, que, z allant de z^ à 2| par un certain chemin, u aille de Uq à une valeur finie ii|, qui soit un point critique de la branche correspondante de la fonction algébrique r|-, si l'on pose z = z^ -{- z\ u = u^ -h u\ cette branche de la

fonction algébrique se développera en une série convergente de la forme (n^ 96)

(3) jj — b. H- 6, w'/' -f- hju'P -f- . . . ;

l'intégration donne

on en déduit

u' z:= z'\(u ~- aiZ'P -h a^z'P -h. . . . / .

Ainsi la fonction u acquiert p valeurs différentes, qui se permutent circulairement, quand la variable z tourne autour du point Z|, et, par conséquent, ce point est un point critique algébrique de la fonction u.

Lorsque la branche correspondante de la fonction algébrique t? devient infinie» son développement est de la forme

(6) 0=="''' V*»-+-*ta''' -Hiiw''' -4-.. J.

Puisque la variable z conserve une valeur finie z^ la racine infinie t^

est d'un degré 2 plus petit que un. Posons/?' ="/> — q\ on en déduit, par l'intégration,

( 7 ) z' = n'P (^ b. -f- -- ^- ' fc, w'? H- -J^ b,n'P -i- . . . ^

et, par suite,

(8) tt' = zr (a, -4- a^z'P' -H €1,2'/^ -h. . .) .

Le point jZ| est encore un point critique algébrique de la fonction u, à moins que l'on d\i p' = i; dans ce cas, ce serait un point ordinaire. Supposons maintenant que, la variable z allant de Ze à ^o 1^ fonction u devienne infinie; on posera