L'intégrale elliptique de seconde espèce est
(II
Jo s/ii-
x^ dx
Le radical admet les quatre points critiques a~i,6=T»c= — i,
d= — T (y?5^. 77» n®221),qui sont aussi des points critiques algébriques
pour la fonction u. Cette fonction devient infinie avec a?, et le point 0' sur la sphère est un pôle du second degré pour chacune des branches de la fonction; mais, comme il n'entre dans l'expression que des puissances paires, l'intégrale définie relative au lacet 0', ou au circuit qui dans le plan embrasse les quatre points critiques, est nulle, et les périodes se réduisent à deux (n^ 113). A chaque système de cycles
Quand z augmente de o ou de u% le second membre é{)rouve des accroissements constants
on en déduit la relation
(i5) «0), -- «'wi = -7p>
entre les périodes des intégrales de première et de seconde espèce.
Lorsque le module k est réel et inférieur à Tunité» si z est réelle, la formule (i 3) ne contient que des quantités réelles; si z est imaginaire et de la forme j^i, y étant réelle, le second membre est de la forme Yi, Y étant réelle.
274. Considérons maintenant la fonction inverse x de la variable u, fonction définie par Téquation différentielle
dx sj(i — x^)(i — h^)
du x^
à laquelle on joint la condition initiale x = o pour i£ = o. En répétant le raisonnement du n^ 219, on voit que, lorsque la variable u se meut dans le voisinage d'un point où la fonction x acquiert Tune des valeurs
dzi, =h T, la fonction reste monotrope. L'étude de l'intégrale définie montre que, quand x partant de l'origine y revient par diflerents chemins, u acquiert les valeurs m, = /nw, 4- m'wî; réciproquement, si u va de l'origine à l'un de ces points u^ par un chemin convenable, la fonction x s'annule. L'équation différentielle
du = - dxy
dont le second membre se développe en une série convergente, pour les valeurs de x dont le module est inférieur à i et au module de t' est de
la forme
on en déduit
LES INTÉGRALES ELUPTIQUES. i43
du=z±{x*-{' ax*-^. . .) dx;
, fx* nx^ \
ar =dzy/3(M— M,)' -4-. . .;
ainsi, quand la variable u tourne autour du point </« , la branche considérée de la fonction x acquiert trois valeurs différentes ; ce point est donc un point critique algébrique pour cette branche de la fonction. La fonction x conserve une valeur finie pour toutes les valeurs finies de u\ on en conclut qu'elle admet une infinité de valeurjs pour chaque valeur de u ; car si elle n'en admettait qu'un nombre limité, une fonction symétrique et entière de ces valeurs serait une fonction holomorpbe et doublement périodique de Uy ce qui est impossible (n^ 146). .
Intégrale elliptique de troisième espèce. 275. L'intégrale de troisième espèce est
Outre les quatre points critiques du radical a = i, b = jt c = — i,
d = — T9 qui sont aussi des points critiques algébriques pour la fonction Uy la fonction placée sous le signe d'intégration a deux pôles X = ± ky qui sont des points critiques logarithmiques de la fonction u (n^ 60), et qui fournissent une période polaire
AV(i— A»)(i — /r'A')
Le point 0' sur la sphère étant un point ordinaire, l'intégrale définie relative au circuit qui embrasse tous les points critiques est nulle; il en résulte que, si l'on fait abstraction de la période polaire, toutes les autres périodes se réduisent à deux; à chaque couple de périodes
elliptiques 2ot>, Gt>' de TiDlégrale de première espèce correspond un couple de périodes hcù^^ cù\ de l'intégrale de troisième espèce. Cette intégrale admet donc trois périodes distinctes, de sorte qu'à chaque valeur de x correspondent deux séries de valeurs de u de la forme
Si Toti change de variable en posant x=\[z,k)j et si Ton remplace la constante h par X(a), l'intégrale de troisième espèce prend la forme
f ^ r' dz
l^(z)-'kHa)
Elle devient infinie aux points critiques logarithmiques
z :.z±a -f- mo) -f- m'»',
et admet une infinité de valeurs pour chaque valeur de z. On peut aussi l'exprimer à l'aide de la fonction 6.
La fonction doublement périodique . ^ __ ii / \ ' ^^^ périodes w, w', a deux infinis simples z = =b a; les résidus correspondants sont
al{a)r[a)
On a donc, d'après le théorème de M. Hermite (n"" 168),
et, en remplaçant z par z -{ — 5
^^^'( = ) H..-.,^-i,;^l).logf-(^-''>
Si l'on fait z -o dans cette dernière équation, on obtient la constante
Hi= . , ,' Daloge(a).
4M MVHK VI aumnE I.
tin. Vt%tiiuUwun riiiiintimant la fonction inverse œ de u, fonction ^I/HImIm pur IVi(|iiMlion diUVsrenticllc
h hu|Uolln on joint lu rondition initiale 07 = 0 pouru = o. On verra, iMininii) |)hV(^doninn'n(, «pio, lorsque la variable u se meut dans le voi-
MliniK«> d^in |miu( 0(1 la foui (ion acquiert Tune des valeurs ±:i, ±y
Ih l\umllon ii^Hto uionolro|)o« 1/ôtudo de Tintégrale définie (16) montre \\\\W ^\\\\^\\^\ %v nVloigno i^ rinllni par un chemin déterminé, u tend vers uu^ xnliMir l\iùo H« ; rtviproquemcnt» quand u va de rorîgine au point v,
(M^v uu \')ii^iuiu ^^mvouaUt^» .r devieul infinie: eo p«>saiil x = ^9 oaa
>\ii5« oiv • IV àV^'v^u iT\tiiiv on* tTtU4i*« r tau '«*?:s \ 5?
LES INTÉGRALES ELUPTIQUES. 447
