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Une fois que Ton connaît les développements de /x(js) et de y(z]. on obtient aisément celui de X(z); car la relation X'(:;) = ii{z)v[z) donne

en groupant les termes deux à deux, on a un polynôme en k^ réciproque et du degré 2 n. On trouve ainsi

a,=: (1 -i- h*) 4- i228A-»(i -f- k*) -f- 5478ÂS

9t,=:(i-+-A-") -+- iio6c)k'{i-^ *•) -h i65826A-^(i -h A*»),

«,=(1 -h A-««) 4- 99642A-«(i 4- A") -h 449435iA^(i 4- k*) 4- 13 180268*%

Ces coefficients, exprimés à Taide de la quantité a, comme ou Ta dit au n^ 281, prennent la forme plus simple

a,.=r(2A-)na'4-3),

a, = {2ky{a* 4- 3o6a' 4- 189),

«,= (2/f)'(a* -+- 2766aM- 8289a),

Eq multipliant par lui-même le développement de X(js), on obtient celui de X^(2), que nous avons représenté par

On trouve

ai';> — 2»A-*(2*a*-f-486a»-f- 189), gjm-. 2'»A*(2«a^ -h 2016a' -f- 3429a), ai'*=2»»A-»(2»a*4- i3o 464 a* -h 667 872 a» -h 180977),

La fonction X'(z) se réduisant à sin^zou à ) lorsque le mo-

dule k devient nul et, par suite, k(x, égal à |, le coefficient du premier terme de a|,'^ est 2'*'^*.

Expression de X^'''*"*(z) en fonction de X(z) e/ de ses dérivées.

285. Nous avons vu (n^ 166) qu'une puissance impaire de \[z) est égale à une fonction linéaire de X(z) et de ses dérivées d'ordres pairs, ci que si l'on pose

le multiplicateur ^ étant supposé égal à l'unité, on a

/ -f- ^- : XC"-') ( 2 ) H XC") (z).

\ i.7....{'in — 3) i.2...2n

On peut exprimer les coefficients A,. Aa.... au moyen des coef-

464 LIVRE VI. - CHAPITRB H.

ficîents àf considérés au n® 280, On a, en effet,

^rj— \ —1-4- A,„, -2' -h A,„^, z« 4- ... H- A, 2'" -!-...;

d'où

Mais, si dans la formule (i3) on remplace n par 12/7 — 12/7 4- 1, on a

on en déduit

et réquation (28) devient

En remplaçant z par z 4- — • on a l'expression de ,,^^ . par une fonction linéaire de X (s 4- — ) et de ses dérivées.

Expression de X^" [z) en fonction de X' (z) et de ses dérivées.

286. Nous avons vu (n*^ 167) qu'une puissance paire de X(;j) est égale à une fonction linéaire de X^ [z) et de ses dérivées d'ordres pairs, et que, si l'on pose

(3i) A-"-'DX'"(r)- — DX'(z)-J--— 4Da'(i5)4- ..-I ;^ rD'-U'is).

DÉVELOPPEfilENT DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN SÉRIES ENTIÈRES. 405

Les coefficients Aa» A^,... s'expriment aussi par les coefficients àf\ on a

et l'équation précédente devient

h UA[zi ^ a„^, ^^ ^ a D^X'(2)-f-. . • -+- D^'-Ji'{^).

Si Ton intègre de o à z, en observant que, d'après la série (27), la valeur de D^p\^{z), pour z = o, est égale a (— ï)'^*Ql{^,, on a finalement

in 1.2 1.2.5.4 1 . 2 ... 2/1 ^