LI.2.3.4 1.2. ..6 '' ^ I.2...2/iJ
En remplaçant z par z 4- ~» on a l'expression de r^- par une fonction linéaire de X^ (z 4- — ) et de ses dérivées.
Fonctions de M, Weierstrass.
287. D'après les relations établies au n^ 169, lorsque le multiplicateur g est égal à l'unité, les fonctions 6 satisfont aux équations différentielles
DMog0(z) -4-A'').Hz)r^H, DMoge,(2)-^ ^ == H,
D'loge,(z)+ ^==H' D'loge,(^) + A'g||-j = H.
dans lesquelles H désigne la constante -^t^ • On simplifie ces équations
en substituant aux fonctions 6 les fonctions Al (initiales du mot aile) de M. Weierstrass, fonctions définies par les formules
En désignant par B la nouvelle constante j^ égale à H H yj on a
aussi (n^ 173)
Les trois fonctions Âl(z), A\2{z), Âls(z) sont paires et se réduisent à l'unité pour z = o; la fonction Al| [z) est impaire et sa dérivée est égale à Tunité pour z = o. Gomme on a
//x -i/ X Al,(z) , . AU(z) , . Ah{z)
(^'^ ^f^)=^Âîûy' '*(^)=Ai(ij' ''("i=ÂMiy'
les quatre fonctions Al satisfont aux relations
(5) AU + Alî = AI5 + A-'AIÎ = AI'.
Les équations (i) deviennent
D'logAl(8)4-A^'X'(2)=o, D'logAl,(z)+ ^-^ =o,
(6) { . ^^,^^ D'IogAl,(z)4- ^^- =o. DMogAM2) + «-»^> = o;
on peut les mettre sous la forme
..rf'AI /rfAIX» ,,.„ A, rf'AI, /rfAIA' .„
^'■5?- -(-^TJ -^^'All^o. AI,-^-(^-^j -H AP =o,
^''lî^ - (-^j -^ ^'' =-- "' ^'' l?ir - (-^j + /.'AU :=0.
Les fonctions Al (z), étant holomorphes, sontdéveloppablesen séries ordonnées suivant les puissances entières de z, et convergentes pour toutes les valeurs de z. Nous représenterons ces séries par
Al (z)--^i-af')^^ a(»> — V7
Al,(s) = 2— a; 54-0; -
A\7[Z)=l—Cl^ h
k i t \ (•) Xî' (a) Z*
On obtient les coefficients des deux dernières séries en diflerentiant plusieurs fois successivement les deux dernières des équations (7), faisant ensuite z = o et tenant compte des conditions initiales Al2(o) = Al, (o) = I, A l'a (o) = Al'a (o) = o; ceci montre que les coefficients 03 et as sont des polynômes entiers en k, pairs, et à coefficients entiers. La première des équations (7), mise sous la forme
Al^- i^\ 4-A^«AP-A»AIÎ = o,
et diflerentiée plusieurs fois successivement, donne les coefficients du développement de Al [z) à l'aide de ceux du développement de A 12(2). De la relation Al,(z) =\[z)W[z)^ on déduira enfin ceux du développement de Al,(z). Ces coefficients sont aussi des polynômes entiers en k^ pairs, et à coefficients entiers. Les séries par lesquelles s'expriment les quatre fonctions Âl(^) étant convergentes pour toutes les valeurs de z et de k, il en résulte que ces fonctions sont holomorphes, non-seulement par rapport à z^ mais encore par rapport à k^ pour toutes les valeurs de ces variables.
288. Les fonctions Al n'admettent aucune période, mais elles rentrent dans la catégorie des fonctions intermédiaires dont nous avons parlé dans le Chapitre III du Livre IV; quand on remplace z par z -h w ou par z -h w', elles sont multipliées par les quantités
&>i et (i)'^ étant les périodes de l'intégrale elliptique de seconde espèce données par les formules ( 1 4) du n^ 273.
D'après les formules du n^ 201, lorsque le module k est nul, la première période tù devient égale a tt, la seconde co' infinie, et la quantité q est nulle; les deux fonctions h\{z) et A 13(2) se réduisent à Tunité, la fonction Al, [z) à sinz, la fonction Al2(^) à cosz.
D'après leur définition (n*"73et 173), les fonctions 0 et & sont homogènes et du degré zéro par rapport aux trois quantités z, o, co' qu'elles renferment; elles ne changent pas lorsqu'on mulliplie ces trois quantités par une même quantité, et, par conséquent, les fonctions 6(2, g', X:), ^{z,g,k) s'expriment à l'aide de fonctions dont le multiplicateur est
468 UVRB VII. - CHAPITRE I.
égal à l'unilé; elles sont respeclivement égales aux (onctions 6 {gz^ k)^ ^{gZy k). Nous avons trouvé (n^ 234) les relations qui existent entre les fonctions 0 ou les fonctions ^ relatives à deux modules réciproques; des relations (35),
on déduit les relations
1 Al (l> z, j^ -SXiz, h), AI. (liz, j\ -^ A Al.(», k) I Al. (kz, i) = Al,(z, /. ), Al. (^kz, ^\ = Al,(«, k).
entre les fonctions AI relatives à deux modules réciproques. On conclut de là que les coefficients des séries satisfont aux relations
(lo)
11 en résultp que les polynômes a^ et a\'*^ sont réciproques par rapport a k, et que les polynômes o^"^ et 03"^ se déduisent l'un de l'autre. Les polynômes 0^"^ et a["^ s'annulant pour k = 0 et les deux autres se réduisant à l'unité, 0^"^ et 0^,"^ sont du degré 2/1 — 2, a["^ et a^"^ du degré 2/1. Eu éliminant l{z) entre la première des équations (6) et l'équation
on arrive à l équation différentielle du troisième ordre
(II) [DMogAI(2)]'H-4DMogAl(2)[n-DMogAI(2)]f»H-DMogAl(z)] = o.
ff) ■+- r,)'
Quand on remplace z par Tune des quantités 2 -j- -> s h — ^ z-i- la fonction I)MogAl(-s) se change en DMogAl3(s), DMogAI,(:;),
D^ logA\2{z); il en résulte que les quatre fonctions logÂl(z) satisfont à cette même équation différentielle.
289. On abrège le calcul des séries à l'aide d'équations aux différentielles partielles, auxquelles satisfont les fonctions holomorphes Al(z) des deux variables z et k. Considérons d'abord les fonctions 6^ représentées par les formules (8) du n^ 74; le multiplicateur pétant supposé égal à l'unité, la période cù, donnée par la formule (3i) du n® 205, est une fonction de q; les fonctions 6 dépendent donc uniquement des deux quantités z et q. De l'expression
on déduit
Ot) n — i
0(z)--I-h2V (~ ^''^'••COS
^Z ÛJ iUJ W
d'où
Dlog^ 4^ «^^ «log^ ùz
En répétant le même calcul; on reconnaît que les trois autres fonctions d satisfont à cette même équation aux différentielles partielles. Des formules (33) et (34) du n« 279 on tire
et l'équation (12) devient
