DAI

D3' — . ^^ +.M-^4-(y^'-H/r^.MAU--3:o,

qui sont dues à M. Weierstrass [Journal de Creîle^ i856). Il est aisé de reconnaître que les quatre fonctions AI, V>tAI|,

1/77 AI2, -p= AI3 satisfont à la même équation

(16) r— -^aA^'z— -h2M'»:rr +- A^*z»ii = o.

^ ' D-2* Dz D/r

291. Les équations (i5) permettent d'exprimer un coefBcient quelconque de l'une des séries à l'aide des deux coefficients précédents. Calculons d'abord le développement de Al (2); en substituant la série dans la première des équations (i5) et égalant à zéro le coefficient de z^'", on obtient la relation

(17) ûf"-^') = 4nA->a^-)4-2Ar(i--Ar»)--^-a/i(2n~i)A-»a<"--'>.

Le premier coefficient est égal à l'unité; en faisant n^ o^on trouve a<*J = o; en faisant /i = i, on trouve a^^^ = — tik^^ et ainsi de suite. Les polynômes étant réciproques, on abrège le calcul en posant a^''^ = A"^^''^

A 4- j = j3; la relation précédente devient

(18) 6'"+') = 2/ij36(") — 2(p'— 4) — — — 2/1(2/1 — 1)6^"-'),

472 LIYRB VI. — GHAFTIBB D.

et Ton trouve

^(•) =: ai(a'p' H- 2».33p* -h a»,795(î» — 2439^),

b«*)=- a»(2"P«-+-2*.9ip*4- a«.3i65p«—aS34i37P«-- 26199),

Eq considérant les premiers coefBcientSt on remarque que t^^'*'''') etf^^ sont divisibles respectivement par a""*^* et par a^; la relation (18} montre que cette propriété est générale.

Si Ton remplace /3 par sa valeur i -h j-fon 9l

- ûO> = o

^a<*ï = 8(*»-«-ilr»),

- aC'> = 3a (*» + *•) + 68*^,

-a(*> = i28(Ar'-4-A*) + 48o(*^-f-A*), '

- aC^ = 5ia (A»-f- *'•)-*- 3oo8 (A^H- *•) 4- 54ooAS

- a^^J = ao48(A^» + Ar") -*- i74o8(** -h *••) 4- 49568(A« -+- *•},

- ûC«î = 819a (Ar»-h *»*) 4-95a32(Âr* 4- A") 4- SgSSao (**4- *•••) 4- 603376**.

- aC'^ = 3a768(Âr»4- Âr'«) 4- 4997ia(A*4- A'^) 4- a853888(Ar«4- A")

- a('»^= i3i07a{Ar«4- *'•) 4- a5395ao( A* 4- **•) 4- 19097600 (A»4- A") 38153728 (*• 4- A'») 4- 42090784 A'%

Les coefficients du développement de AI, [z) sont donnés par la relation

(19) o^''*'^ = [1 +(4n -4- î)A» y;^4- 2A(i - A») î^ - 2/1(211 4- i)it»<*-*^;

ces coefficients étant aussi réciproques, on posera, comme précédemment.

ce qui met la relation sous la forme On trouve ainsi

bV' r-- (3* 4-2^3^2—?.'. 9,

b^;» =: Ç,' -^ 1.11^'— 'j,Kï385i ^' — 2>.i73i(3,

bV*'= (3'*-h 2.45(3"— 2\5io7i85p«— 2«. 4252365(3* — 2\i5oo4 35 (3»— 2*.i6o839,

OU, en remplaçant |3 par sa valeur,

û';* 1^ I ^-^••+25(/i^-4-A«) — 49^iA*---/i''),

0*;» = I -hk'^.-h 36(Â^H- /i'«) — 5781 (/i*4- A») - 12184/1-,

o';* = i4-A"-h8i(/.'4-A'«)-45375oo(A*-hA^'*)-27i98588(A«4-A*''),

a'/*— I 4-A^--f-ioo(A^-f-A'»)-4o85G7i5(A'H-A'«)-3i3i8oo8o(A«-i-A'*)

47 i LIVRE VI. - CHAPITRE U.

Od calculera le développement de AU {z) au moyen de la relation

(ai) û^;-^'^(i ^^nk')a,'^ h ^A^i - A>) ^^ - 2/1(2/1- i)A''a;-^

el Ton abrégerait un peu le calcul en posant 2^^= h, et remarquant que les coefficients sont des polynômes en A à coefficients entiers. On trouve

4- i2/r'-f-6o/i^-i-32/i% -h 20/1' -^ 348A*4- 448/i^-f- i28A^% -{- 3oA'4 2372A* i 46oo/i*«-h 288oA*-f- 5i2A-'% + 42/1- H 19308 A-*-f- 5 18 16^^-1-45024 A^* -4- 16896 A '•+ 2o48A'% -h 56A^-h i6932o/r* H- 628o64A«-h 757264 /f»+ 370944A^'»+ 93i44*'S + 8192 A-'S

4- 72A^-}- i5i5368/f*-i- 7594592 A^-f 12998928A'' + 9100288 A •% 2725888A' -h 491520 Ar'^-f-32768A'S

h 90 A» -I- 13623480 A<-f-89348o8o«-h 21 1064400 A-» 4- 2i936i824A'« 4- 100242944/'^" -*-ï845()432A"-+-25o6752Ar'*^^-M3io72A»S

Le développement de Âl3(z)se déduit de celui AeAliiz)^ en vertu de la relation o!f{k) == k'^^a';;^ U] ; on a ainsi

On obtient une véritîeation très-simple des calculs précédents en remarquant que, si le module k est égal a l'unité, la quantité p est nulle, et que les quatre fonctions Al deviennent respectivement

Al(2) — e ' coshs, A\,{z)^e ^sinhjs, Alj(2) ~ AI3 (z) — e? '

DÉVELOPPEMENT DBS FONCTIONS ELLIPT. EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQDES. 47»