TRIGONOMÉTRIQUES

Développement de X (^^ ) .

292. D'après le théorème du n^ 99, la fonctioD X(z), qui admet la période aot), est développable en une série dé la forme

mien

et convergente dans une bande limitée par deux droites parallèles à la

direction &). On a posé / = e" ; aux valeurs z= — \- mw -h /iw', qui

rendent la fonction X [z] infinie, correspondent les valeurs t = ±:e "•^ , dont les modules varient en progression géométrique, et les arguments en progression arithmétique. Dans le plan sur lequel on figure la variable z, les pôles sont disposés par files parallèles a la direction tù. Dans le plan sur lequel on figure la variable /, les valeurs correspondantes de / sont marquées par des points placés sur deux spirales qui, d'une part, s'éloignent a l'infini, d'autre part se rapprochent indéfiniment de l'origine; ces points sont les pôles de la fonction X, considérée comme une fonction de t. La série, ordonnée suivant les puissances entières de ^, positives ou négatives, est convergente pour les valeurs de t comprises entre deux circonférences ayant pour centre l'ori-

(an ■*- iVie«»'i (an — i)irw'i

gine et passant par les points / = c *•" , / = e "" ; la série sera donc convergente pour les valeurs de z, comprises entre deux droites

t7ii LIVRE VI. - CHAPITRE IIÏ.

parallèles à la direction w et passant par les points js = (2/14- 1) — ^

zz=z ( 2n— i) —r c'est-à-dire enlrc deux files voisines.

Supposons /i =^ o; la série sera convergente dans la bande comprise

Fig. 80.