I> ' II

entre les parallèles BoCo, B|C, à la direction «, menées par les points

- — — , s =: (^gr. 80). Les coefficients de la série sont donnés

par Tintégrale définie

relative à une ligne située dans la bande. Nous remarquons d'abord

que A,„ = — A„j; car, en posant z = — z\ on a

ntiiz'i

e «" dz' r=: — A».

Nous remarquons ensuite que

et, en remplaçant z par « -f- :; dans la seconde partie,

A.,, -. — - - - / ll^z)c « (/:;.

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPT. EN SÉRIES TRIGONOBfÉTRIQUES. 477

Il en résulte que Aim "^ o et que

Pour évaluer ce dernier coefficient, considérons l'intégrale définie

TT/

relative au contour du parallélogramme A'EFA , dont les sommets A et A' correspondent à z = ±-^ et les sommets F et E à

z = dz - — /l'w'; les parties relatives aux deux côtés opposés FA, A'E

sont égales et de signes contraires; la partie relative au côté EF est infiniment petite, quand /i' est très-grand ; Tintégrale se réduit donc

a la partie relative au côté AA', c'est-à-dire à '-^ Ajm-i. Mais Tinté-

grale définie relative au contour du parallélogramme est égale a la

somme des résidus relatifs aux infinis a — — (2/1 — i)— > n variant

de I a n'. L'un de ces résidus étant égal a -rÇ " ' > on a

9 tn -- I

. 27:/ V (an-i)—--"- aTTI (1 '

et la série devient

Développement de i^{z).

293. Les mêmes considérations s'appliquent à la fonction jx(z), qui admet aussi la période 2c^ et les mêmes infinis que X(z). En efiectuant

478 UVRE IV. - CHAPITRE ffl.

le développement dans la bande comprise entre les parallèles BtCo*B,C|, on aura

Ici A-.,„ = A™; on a d'ailleurs Aj» = o et

Ai«-i =

On obtiendra le coefficient Asm.** comme précédemment, par la considération de rintégralé définie relative au contour du parallélogramine

A'EFA; le résidu relatif à Tun des infinis «= - (an— i)— étant égal a ^ — -^ — q », on aura

im— I

/» «Ar I -h y*" * '

nai

d'où

Dci^eloppement de v{z), 294. Cette fonction admettant la période cù, la série sera de la forme

tn:- *

9 m es I

et, pour la bande comprise entre les parallèles BoCo, B<C|, on aura

— — \ v(z)e " dz,

On a ici A»;„ = A;„. Pour évaluer le coefficient A^, considérons l'intégrale définie

/v{z)dz.

relative au contour du parallélogramme A'D'DA {^g, 80), dont les

sommets D et D' correspondent aux valeurs 2 = ztr ~ -- w'; les parties

relatives aux deux côtés A'ï>\ DA étant égales et de signes contraires, celles relatives aux deux côtés D'D, AA' étant égales» l'intégrale relative au contour se réduit a deux fois l'intégrale relative au côté AlA\

c'est-à-dire à — '- Ao. Mais cette intégrale est égale au résidu relatif au

pôle — — î situé dans le parallélogramme; on en conclut que Ao = —

On évaluera un autre coefficient A,;, par la considération du parallélogramme A'ËFA, comme précédemment, et Ton trouvera

A«=: — y (- IV— «('»-)« -^

On obtient ainsi la série