I -f 4 > — ^— - cos

Développement des fondions Dlog0(2).

295. La fonction méromorphe DlogC(s)=:: -^^ admet la période o);

elle devient infinie aux mêmes points que les fonctions elliptiques; elle est donc dévcloppable en une série de la forme

Dlog9(a)= y .A«<î

/«=— flO

480 UVRB VI. - CUAPIIBB m.

et convergente dans la bande comprise entre les parallèles BtCtt B,C| {fis- 8o). Les coefficients sont donnés par la formule

1 /**'* •wf'ggi

A«=- I • Dloge(s)e" - dz.

La fonction Dlogd(j8) étant impaire, on a A» = o et A.m= — Am* On déterminera le coefficient A^ k Taide du parallélogramme A'EFA» comme précédemment; les parties de Fintégrale relative aux deux côtés opposés A'E, FA étant égales et de signes contraires, et celle relative au côté EF étant infiniment petite, l'intégrale relative au contour de

ce parallélogramme se réduit à — ^.A^. Le résidu relatif au point

a = — (an — i)— est égal k ^fCa^'-i)'"^ puisque le résidu de D log0(s} est égal à Tunité. On a donc

et la série devient

(4) DIoge(3) = *^— > — 2-T-sm

En remplaçant z par 2 + -» on ea déduit la série

(5) Dlogôat^ —-- > ^-^ «""

convergente dans la même bande.

296. Le développement de la fonction Dlogd|(z] ne peut pas s'effectuer dans cette bande, k cause des infinis z = mca, situés sur la droite AA'; mais on évite cette difficulté en développant la fonction

9 (2 ) := D log -^^ z= D loge.(^) - - COI — >

. TT 2^ Cl) 0)

sin —

DÉVELOPPEBŒNT DES FONCTIONS ELUPT. EN SÉRIES TWGONOMÉTMQUES. 481

qui n'a plus ces infiDis. Cette fonction impaire, admettant la période co» est développable en une série de la forme

et convergente dans la bande comprise entre les parallèles a la direction cù menées par les points z — ± o'. Pour évaluer les coefficients

3 — rmitzi

/»a — 7mnzt

on considère l'intégrale définie

relative au contour d'un parallélogramme Â'EFA, dont les sommets A et A' sont les points z = ±-y et les sommets F et E les points

z =d=- — [un' + i)— • Les parties relatives aux côtés A'E, EA se détruisant» et celle relative au côté EF étant infiniment petite» l'intégrale se réduit à — ^ A;„. D'autre part, la somme des résidus relatifs

aux pôles a = — /iw', situés dans ce parallélogramme, est ^' On a donc

et par suite

nmnz