q^ , nrmiz

(6) DJoge.(2)=^-coi— H-^^ y -^sin

482 LIVRE VI. - CHAPITRE m.

En remplaçant z par z + -i on obtient la série

(7) DIoge,(^)= tang r-^ > ^ — ^-ji- sin

convergente dans la même étendue.

Développement des logarithmes des fonctions elliptiques.

297. Des développements que nous venons de trouver, on déduit immédiatement ceux des logarithmes des rapports des fonctions Q deux à deux. On a, par exemple,

DlogX(-8) = Dlog0,(^) — Dloge(a;), Dlogfx(j)=rDloge,(^) — Dloge(z), D log V ( 2) == D log0,(2) - D loge [z ),

et par suite

(8) DIogX(3)=^col^-*-^y -

û) û) Cl) iUJ I

--• •» X ^ -- sm ,

,9) B,o,„.) = -îun,î^-^"S,^

^ ^ ^ sm ^ j

Stt \^ g2«-i 2(2/71 — Ottz

(10) Dl0gv(z)rri-— y > -?!l^,sin

Ces séries sont convergentes dans la partie du plan comprise entre les

parallèles à la direction cù menées par les points ±: — • Par Tintégration,

on obtiendrait les développements des fonctions logd(;z) et des fonctions logX (5), log|UL(z), logv {z).

298. REMA.RQUE I. — L'équation (9) donne une démonstration simple d'une propriété remarquable des nombres entiers. Le premier

membre est égal à "~^ W^(^) . g^ dérivée, pour z = o, se réduit ^ --g*;

en prenant de même la dérivée du second membre et faisant z = o, on obtient l'équation

Mais nous avons trouvé (n** 205)

Il en résulte Tidentité

Le premier membre, ordonné par rapport aux puissances croissantes de Çf contient toutes les puissances de q^ et dans le second membre» ordonné de la même manière» chacun des exposants est la somme de quatre carrés; à cause de l'identité» on en conclut que tout nombre entier est la somme de quatre carrés.