Remarque II. — L'équation différentielle
du
k laquelle satisfait la fonction i/=:X(z), dont le multiplicateur est égal à l'unité» peut s'écrire
= V' —k^u*dz = v{z)dz;
on en déduit
arcsini«= i v(z)£/j»
484 LIVRÉ VI. - CHAPITRE lU.
et, en vertu de la série (3),
(li) arcsinX(z)=: 1-2 \ — —^
sin
La même équation différentielle peut s'écrire
— ^i -- u*dz=z fi{z)dz;
on en déduit
et, en vertu de la série (a).
^*^' . (am — iJTTZ
(i5) arcsin/rX(z) = 4i^^ > ; tt ;;zT:Sin^
Si, dans cette dernière équation, on fait z = -9 on obtient la série
(16) arcsinA-=4^^ V / ^ 'C T L-â>
ou, d'après une remarque faite au n** 68,
(17) arcsinA- = 4^ (— i)'"~*arclangg
Les développements exposés dans ce Chapitre ont été trouvés par Jacobi [Fundamenta nova).
