Les fonctions

. Otjz — x) Ox(z -^ X -- a — b) g 6i(z—x)6i{Z'hy — a—b) 0,(z-a)0,(3-6) ' et{Z'-a)e^{z — b)

admettant les deux périodes o), co% leur somme

s > ket{z — x)ei(Z'hx — a^b)'hBOi(z—x)Ot{z-^-X'-a—b)

admet ces mêmes périodes; c'est une fonction méromorphe doublement périodique du second ordre, dont les infinis sont a et b. Or on peut disposer des coefficients A et B, de manière que le numérateur s*annule pour z = a et pour z = b; il suffit pour cela que ces coefficients satisfassent à la condition

qui, à cause de la symétrie, est la même pour les deux racines; alors

la fonction 9 {z), qui ne devient plus infinie, est une constante. L'un des coefficients restant arbitraire, on peut en disposer de manière que cette valeur constante soit égale à l'unité. On a ainsi l'équation

Si l'on y fait successivement z =yf z =0:^ on obtient les coefficients et Téquation devient

9i(x — a) e,(x — b) e^iy -h z -- a — b) e, (x — z) -h0,(/ — a)e,(7— 6)0,(« -^x — a— 6)©,(z— j?) -h6t(z — a) 9i{z —■ b) ei(x -\- X — a — 6)5, (j: —7)1=0.

Nous y remplacerons a et 6 par — a et — 6, et nous l'écrirons sous la forme

Iei{x-ha)6t{x-hb) 0i(7-f-z ■+- a 4- 6)e,(7-— z) H-0,(7-f-a)0,(j-f-6)0,(z -h^-f-a-f-6)ô,(>8 — jt) 4- 0, (z H-a)0,(z + b)9i{x -+-7-f-a + 6)0i(^ — y-j^o.

Cette équation renferme cinq quantités arbitraires x, y, z^ a, 6. On déduit le deuxième terme du premier, et le troisième du deuxième, par la permutation circulaire des lettres œ, y, z. Le premier membre est une fonction symétrique des deux quantités a et 6, et une fonction alternée des trois quantités ic, j, z deux a deux. On vérifie aisément que l'équation ne change pas lorsqu'on ajoute o) ou co' à l'une quelconque des cinq quantités x, j, z, a, b, et qu'elle ne change pas non plus lorsqu'on

ajoute - ou — aux cinq quantités à la fois.

301. De cette équation fondamentale on déduit un grand nombre

d'équations de même forme, en ajoutant, soit-? soit—» soit ^> à

une ou à plusieurs des cinq quantités x,y, z, a, b^ ce qui remplace les

fonctions 0^ par d'autres fonctions 0. Chacune des lettres oc^y, z entre dans deux des quatre fonctions 9 qui composent chaque terme de l'équation; chacune des lettres a et 6 entre aussi dans deux de ces fonctions. Quelles que soient les quatre fonctions 6 qui composent un terme, on

reconnaît que, lorsqu'on ajoute - ou — à Tune des quantités x, j, z,

deux fonctions 0 sont remplacées par d'autres, et, au signe près, les trois termes de l'équation sont multipliés par un même facteur dont

on peut faire abstraction; il en est de même lorsqu'on ajoute - ou —

à l'une des quantités a et b. Le premier membre de chacune des équations renferme douze fonctions portant sur les quantités

{x -h a, X -h b\ jr -\- z -^ a -\- b, jr — z), ijr -^ a, jr-^ b, z -hJr-*-a -h b, z —x)^ [z -♦-a, z -+- 6, x-\-y -^a + 6, a?— 7"),

que nous supposerons toujours disposées dans le même ordre, ce qui nous dispensera de les écrire. Chacune des quatre fonctions 6 pouvant porter sur douze quantités, les équations renferment en tout 12 X 4 ou 48 fonctions 0.

Nous déduirons toutes ces équations de l'équation fondamentale, en attribuant à chacune des cinq lettres a?, y, z, a, b qu'elle renferme quatre valeurs différentes; par exemple, nous attribuerons à a? les quatre

valeurs a?, a? h — > a? h > a? -i • Puisque l'équation ne change

pas lorsque les cinq lettres éprouvent la même modification, nous pouvons laisser invariable l'une des lettres et nous borner \ attribuer à chacune des quatre autres les quatre valeurs dont elle est susceptible, ce qui donnera 4^ ou 2k56 équations différentes. Lorsque les deux lettres a et 6 éprouvent une même modification, l'équation reste symétrique par rapport à a et à 6; mais si une seule de ces lettres est modifiée, ou si elles éprouvent des modifications différentes, l'équation cesse d'être symétrique. Lorsqu'une seule des trois lettres x^ y, z, par exemple x^ est modifiée, ou lorsque les deux lettres y et z éprouvent la même modification, le premier membre de l'équation est encore alterne par rapport aux deux lettres y et z ; mais il cesse de l'être par rapport a a? et

488 UVRE Vn. - CHAPITRE I.

à y et par rapport a a? et ^ z. Nous sommes conduits de la sorte à ranger les ^56 équations en six classes, de la manière suivante.

302. Première classe. Relations alternes par rapport à deux quelconques des lettres x^ j, z et symétriques en a et b. — On les déduit de l*équation fondamentale en ajoutant aux deux lettres a et 6 la même

quantité o, — , -, , ce qui donne les quatre équations

0i 0| 0^ Ot -f- vi vi W| V| -+- 0| W| 0| 0| = O,

e e 0, 0, -*- ô e e^ e, h- e e e, g, = o, Oi e, e, 0, -f- 0, 0, 0, 0, -+- 0, 0, 0, 0, = o,

303. Deuxième classe. Relations alternes par rapport à deux quelconques des lettres x^ y^ z^ mais non symétriques en a et b. — On les déduit de réquation fondamentale en ajoutant aux deux lettres a et 6 des quantités différentes; comme on peut ajouter les six couples de quantités

dans un ordre ou dans Tautre, on obtient douze équations de la seconde classe. On a d'abord les six équations

En ajoutant aux lettres a et 6 les mêmes quantités en ordre inverse» on obtient six autres équations qui se déduisent des précédentes par la permutation des lettres a et 6; afin de laisser les quantités x -k- a, ar-hé,... dans le même ordre, on permutera dans chaque terme les deux premières fonctions 0 considérées comme de purs symboles, de

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS ô. 489

manière que la fonction qui portait sur x -h a porte maintenant sur X -h b^ et réciproquement.

304. Troisième classe. Relations alternes par rapport à deux des lettres a?, j, z et symétriques en a et h. — Si, dans les équations de la

première classe, on ajoute à x Tune des quantités —j -» ^ — ^, on

forme douze équations symétriques en a et 6, et alternes par rapport à ^ et 2 :

On a de même douze équations alternes par rapport à js et o;, et douze alternes par rapport à o? et /, ce qui fait 4 X 3 x 3 ou 36 équations de la troisième classe. Des premières on déduit les secondes en permutant circulairement les trois lettres a?, y, z; ceci revient à permuter circulairement les trois termes considérés comme des symboles, en laissant toujours les quantités or 4- a, x + b^... dans le même ordre; on déduit de même les troisièmes des secondes.

305. QuATRi:ÈM£ CLASSE. Relations alternes par rempart à deux des lettres x, y^ z, mais non symétriques en a et b. — Elles se déduisent de celles de la seconde classe de la même manière que la troisième classe de la première. Si, dans les équations de la seconde classe, on ajoute

kx Tune des quantités ~> -> ^ — ^j on forme 12 x 3 ou 36 équa-

tions non symétriques en a et 6, et alternes par rapport li y et z. On a d'abord les i8 équations

0 OiO Ot — OiO ©, ô -h 0, e 0, 0 = o, e e, 0, 0, — 0, 0, 0, 0 4- 0, 0, 0, 0 = o,

On obtient les i8 autres en permutant dans chaque terme les deux premières fonctions 6. On a, de même, 36 équations alternes par rapport k z ei X, que Ton déduit des précédentes par la permutation circulaire des termes, et 36 équations alternes par rapport à a? et y, ce qui fait en tout i2x3x3 = io8 équations de la quatrième classe.

306. Cinquième classe. Relations non alternes par rapport à deux des lettres x^ j, z, et symétriques en a et h. — On les déduit des équations de la première classe, en ajoutant aux trois lettres x^ y^ z trois quantités différentes, prises à volonté parmi les quatre quan-

tites o, — » -j -, mais nous pouvons exclure la dernière— -î- — ;

car supposons que l'on ajoute à a?, y, z respectivement o, —

(ù Ck) 4- w

492 UVRE VU. - GHÂHTRB I.

on fiubstituera à ces quantités les suivantes :

(a? -4- a, j: -h 6, 7* -♦- « -f- a -h 6, / — - -s), (« -ha, -8 -t- 6, jT-f-^-f- a-{- 6, x—y), (j -+- a, 7* -f • fc, z M- r 4 ûH- 6, z — jt).

Pour rétablir Tordre primitif, il suffit de permuter les deux derniers termes de Téquation. Il résulte de là que l'on peut, dans les quatre équations précédentes, permuter les termes deux à deux de toutes. les manières possibles; les trois termes de chaque équation présentant six arrangements, on a ainsi les ^4 équations de la cinquième classe.

307. Sixième classe. Relations non alternes par rapport à deux des lettres x, y, z, et non symétriques en a et h. — Elles se déduisent de celles de la deuxième classe, comme la cinquième classe de la première, ce qui fait i2k x 6 ou 72 équations. Si, dans les 12 équations

de la deuxième classe, on remplace j^ par y h — et z par z 4- -i sans changer x^ on obtient les 6 équations

Q e^o B, — o, 0, 0. e^—e^eOtO — o,

et les 6 que Ton en déduit en permutant dans chaque terme les deux premières fonctions 6. En permutant ensuite les termes deux à deux, comme nous l'avons expliqué, on formera les 72 équations cherchées.

Équations à deux lettres.

308. Première espèce. — Les équations précédentes renferment cinq quantités arbitraires a?, j, z, a, b. Si Ton attribue à quelques-unes de ces lettres des valeurs déterminées, ou si Ton établit entre elles certaines relations, les équations ne renfermeront plus qu'un moindre

494 LIVRE Vn. — CHAPITRE !..

pose de trois groupes de douze équations; celles du premier groupe, étant alternes par rapport à / et z, se réduisent aussi k des identités: celles du troisième groupe, se déduisant de celles du deuxième par la permutation de^ et z, se confondent avec celles-ci; il suffit donc de considérer les douze équations du deuxième groupe. La cinquième classe se compose de deux groupes de douze équations, tels que le second se déduit du premier par la permutation des deux derniers termes; ces deux groupes se confondant, il suffit de considérer les douze équations du premier groupe. Ainsi la troisième et la cinquième classe donnent les a4 équations suivantes :

x + a)9 {x x-ha)6 (x X + 0)9 (x

9\{fi) 9 6\{a) 9 9\(a)9

9' (a) 9 9lia) 9 9\(a) 9

9'Aa)9

eiia) 9\(x), dUa)9l{x), 9Ua)9*(x);

— 9](a)6Hx), -eHa)9Hx), -9](a)9'(x);

{x)-e',{a)9l{x), (x)-\-9l(a)9l{x), {x)-he'{a)9'[x}.

(x) ix)

Les deuxièmes membres proviennentde la troisième classe, les troisièmes de la cinquième classe. Les premiers membres étant symétriques ou alternes par rapport à a? et a, les deuxièmes et les troisièmes membres jouissent de la même propriété. Les produits 6{x -h a)6{x — a), formés d'une même fonction 0, sont égaux, d'après cela, k des expressions binômes renfermant les carrés de deux fonctions 0 {x) et les carrés de deux fonctions 0{a).

Remarquons que les six expressions d'un même produit peuvent se déduire de l'une d'entre elles, à l'aide des deux relations linéaires qui existent entre les quatre fonctions 0^{x) et de celles qui existent entre les quatre fonctions 6^ (a) (n*' 157).

On peut remplacer ces deux systèmes de formules par les relations équivalentes

On a aussi la relation

Supposons maintenant que, dans les six classes d'équations générales, on fasse a = a, 6 = — a, c'est-à-dire a + 6 = o; chacune d'elles renfermera les douze quantités

dans Tordre où nous les avons écrites. Si Ton pose