V--P, V.rzrOrP., Va vTjP,, Y.TrrlP

Il est évident que les quantités P, qui sont des polynômes entiers enX'(z), sont des fonctions de z doublement périodiques, aux périodes 0) , <ù\ et de Tordre n^ — i; elles sont représentées par les formules

ln,.,0.(^^)e-'-H p,,, 9,(nz)e-'-'(o)

que l'on déduit des formules (4o), et elles satisfont aux relations

Cl)

jm:;:;!'). ... "■ i' '■ ï) .. ..

(-I)"""P,(Z) w -4- Cl)

PU-i

, -il • — I

-T \ . Connaissant de la

sorte les derniers coefficients b et c, les deuxièmes et troisièmes des relations (48) et (49) donnent les premiers. On a ainsi

-?!l! -?>'' - ^'1 - ^ ' ^ ' - a(j^ a>jj

fc"»

(,) . (,) . „ ifc"^) 6(-.--) iC-^) iff?)

C«/\ çV

tt)

f-^) er^)4-vo

(— i) ' /i, servira de

La connaissance du dernier coefficient, a vérificalion dans le calcul de P.

En appliquant cette méthode au cas simple oii n -- !^, on trouve

P,r=:3- SOLX -\-^X'-X\

'4/3 H. 4 \^ y[.y2 ;. Gv' !->.-j i - 1^2.1 6^« - ^kx' \-3C\

3,4 ?__l!/î ()/'-! /"j I -- 4/rx' I 6x»- ^X' i X'.

et d'autres de même forme par rapport aux variables y et i. D'après cela, dans chacun des polynômes, les coefficients des termes également distants des extrêmes sont égaux « ou égaux et de signes contraires. On connaît les premiers coefficients a^"^ = r, a^/*- = /i, a',**- =i, a^^- = i, et par suite les derniers. On calculera le polynôme P» comme précédemment, à Taide de la relation (44)» et il suffira de trouver la première moitié des coefficients.

En faisant le calcul pour /i = 6, on trouve

P = (i~;r^«)- io5j;'(i— x"*) -h 896a^«(i~x") — 12(37 -f 288a»)a»(i — x»*] -4-i536(3a-f-4a»)jc'*(i— ^«"J -^ 4(6^» ■+-336o«'4- i024a«)x"(i — :r") 384(33a-i 32a')x''{i — x*)-\- I26(i5 4- 1 28 a») ^'« ( 1 — x* ).

Équations différentielles d'Abel.

345. Nous avons représenté par x la fonction v^îïX(z). Si nous représentons de même parX la fonction v^ÂX(/iz), ces deux quantités vérifient Téquation

d\ dx

(55) ^ifdzz^-

n^i — 2aX^-4- X^ ^1 — 2aa?»-+- x*

où a désigne la constante ~ (^ + r) * D*après ce que nous avons dit,

X est une fonction ~ de x, rationnelle si n est impair, égale au produit

d'une fraction rationnelle par le radical yji — 2aoo'^ -h x* si n est pair. Cette fonction transforme donc la première expression différentielle en une autre de la même forme.

Cette équation peut s'écrire

(i- 2ax'-i'X') f^y-/i'(i-2aX'-f-XM,

ou

On en déduit, en différentiant,

538 LIVRE VII. - CHAPITRE ni.

X = o dans la première fraction, on trouve G'= o; en divisant les termes les plus élevés du numérateur etldu dénominateur de cette même fraction» on trouve G = n^. Ainsi les deux fonctions Y et V| vérifient encore les deux équations différentielles (58).

Les équations (58) peuvent être mises sous la forme

D.[A(j;)DJogÇ] H- n'(X' - x») ^ o, (59)

D,[A(^)D.logÇ] + n^/^, ~ x'\ z= o,

en représentant par § soit la fonction Y, soit la fonction Y«, et désignant par A(a?) le radical yfi — holx^ -h a?*. Si, entre l'équation (56) et Tune ou l'autre des équations (Sg), on éliminait X, il est clair qu'on arriverait à une même équation différentielle du troisième ordre par rapport k la fonction ^ de la variable x. Cette équation admet les solutions particulières Ç = Y, Ç = Y,. Pour obtenir l'intégrale générale, il suffit évidemment de considérer l'intégrale générale de l'équation (55) et de la substituer dans l'une des équations (Sg); la valeur de| sera donnée ensuite par deux quadratures. L'équation (55) admet pour intégrale générale

^ étant une constante arbitraire, ou, en posant hz.- \/îtX(j3) et rempla-

çant \/k'k{nz) par sa valeur y en fonction de x.

(6o) X v.ZTÂTyj

De la première des équations (Sg) on déduit ensuite

(6,) ioQl^--J ^Jn^{\:^-x^)dx.

Multiplication de V argument dans les intégrales de seconde espèce.

346. La formule (i3) du n^ 273, dans laquelle on remplace z par /iz, devient

^("^)=ih?i^~>''««^(H

540 LIVRE VII. - CHAnntE IV.