CHAPITRE IV
DIVISION DE L*UIf£ DES PÉRIODES.
Division de la première période par un nombre impair.
348. La fopctioQ dU, -soM» que nous désignerons plus simplement par 0 (z, -j» admet les zéros z = m- -h (2m'-4- 1) — -, elle satisfait aux relations
La fonction
formée par le produit des n fonctions 0 Iz -h p-^ w, co'U que Ton obtient en attribuant -â pies n valeurs entières consécutives —^-i
— I , o, +!,..., -^^^ î admet les mêmes zéros et satisfait aux mêmes
relations; car, lorsqu'on remplace z par 54 -> chaque facteur devient
égal au suivant, et le dernier au premier. Les deux fonctions 6 Iz, - ) (ii/{z) sont donc dans un rapport constant. Si dans cette relation on
remplace z par 1 une des quantités z -{- -> ^ '^ ~^^ ^ "^ obtient les quatre formules
on
ft
la lettre A désignant une constante.
En mettant à part le facteur qui correspond à /? = o, et en groupant deux à deux ceux qui correspondent à des valeurs de p égales et de signes contraires, on en déduit (n^ 329)
e,{z,^^)e,(o)B'-'io)
ei(*)
O'Az)
349. Nous avons appelé g" et ^ le multiplicateur et le module relatifs aux périodes o, u'; nous appellerons de même g^ et k^ le multiplicateur et le module relatifs aux périodes - > o'. Les formules précédentes
peuvent être mises sous la forme
les lettres $ désignant des polynômes entiers pairs en X(js), du degré 71— I. En divisant membre à membre les trois dernières formules par la première, on en déduit
En faisant z = o dans les équations (i), on trouve les valeurs des
trois constantes >fk^ , sjk^ , g^ , telles qu'elles sont définies par les formules (17) du n«76 et (24) du n** 159,
5) <lk,.^flk- JJ -7-^f 'IK.^slk- JJ -
UVRE Vn. - CHAPITRE IV.
formée par le produit des n fonctions Q iz -\- p—y que Ton obtient en
donnant à /? les /i valeurs entières consécutives —
-f- 1, . . . , » admet les mêmes zéros et satisfait aux mêmes rela-
lions; car, lorsqu'on remplace z par z + ^9 chaque facteur devient égal au suivant, et le dernier devient égal au premier multiplié par — e""-v'"^"/. Les deux fonctions 6 f z, --)'/(^) sont donc dans un rapport constant. En remplaçant dans celte relation z par Tune des quantités z -i- ^1 z 4- — » s 4- " ^ > on obtient les quatre formules
analogues aux formules (i). On en déduit de la même manière
'^'OUZ)
fi)
351 . Nous appellerons g^ et k^ le multiplicateur et le module relatifs aux périodes w, — • Des formules précédentes on déduit
^ / ,, = v(z) TT ,-^.-) "(X'(z)
les lettres $' désignant encore des polynômes entiers pairs en 'k{z) du degré n — i , et l'on a
En faisant 2 =:: o dans les équations (7), on trouve» comme précédemment,
Des formules (7) on déduit aussi
<"' 4-ï)=\/fS n "(-'ï)
352. Remarque. — Les relations établies au n^ 348 montrent que les fonctions Olz,-j cù'\ sont égales à des polynômes entiers et homogènes, du degré n, par rapport aux fonctions 6{Zf o), o)'). Les relations du n^350, dans lesquelles on remplace o) par -9 montrent que les fonctions
o(z,-j^] sont égales k des polynômes entiers ethomogënes, du degré n,
par rapport aux fonctions 0 Iz^ -> (ù'\ ; en mettant k la place de ces dernières leurs valeurs, nous obtiendrons les expressions des fonctions û(z, -î — ) par des polynômes entiers, du degré n^, par rapport aux fonctions S(z, w, w'). Les fonctions 6(5, w, w') étant homogènes par rapport aux trois lettres z, w, w' (n®73), les fonctions ôfz, -> ~j
sont les mêmes que 6{nz, co, co'); nous arriverons ainsi, par deux opérations successives, aux polynômes que nous avons obtenus directement dans le Chapitre précédent (n°* 330 et 331).
Le même mode de transformation s'applique aux fonctions elliptiques. Concevons que Ton divise par n, d'abord la première période, puis la seconde; après la seconde opération, on retrouve évidemment le module primitif A et le multiplicateur ng. Les formules (10) et ( 1 1), dans lesquelles on remplace g et k par gt et À*,, et g2 par ng^ donnent
rallélogramme sont 'z -- t cl z-=^. - — p-> P variant de — En rennplaçant à la fin i par z, on obtient les équations
Si Ton met à part le ternie qui correspond h p = o et si Ton groupe les autres termes deux h deux à l'aide des formules (3) du n^319, il vient
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