Les functions

f)' f(-¥)K'""' '"')' ''('•vOK'"'^^)

admettant de même les périodes w, w', la somme des résidus de chacune d'elles dans un parallélogramme (w, w') est nulle. Nous prendrons les

DIVISION DE L'UNE DES PÉRIODES. 5i9

mêmes parallélogrammes que précédemment et nous supposerons le poipt/ à rintérieur. Les infinis des fonctions dans le parallélogramme

sont z = /els^--p — »/? variant de a • On trouve

ainsi

d'où

z, — 1 =(— i) » -îVa(z)l 1 +2 > . \, -

Nous ferons remarquer que les formules (i4) et (i6) sont des conséquences des formules (4) et (lo). Considérons, par exemple, la première des équations (4); si l'on y regarde X(z, -> w'j comme une

quantité donnée et X{z) comme Tinconnuc, Téqualion est du degré n par rapport k celle inconnue; le premier membre ne changeant pas

quand on y remplace z par z h \ on en conclut que les n quantilés

représentées par la formule X (s -h/>— )» dans laquelle/' reçoit /i valeurs entières consécutives, sont les n racines de l'équation; la somme des racinesT étant égale à ^^X (z, -N w'u on a

'"" -'{'■'^)-â. l K"'-'T)-fl l '-"K'-":-)

355. La combinaison des formules (i4) et (i6) donne l'expression des fonctions X(/iz), ii{nz), v{nz) par des sommes. On a, en effet, d'après la première des formules (17),

i(nz,o.,<..')=i{z,y-Ly.-=ii^i '2 K^^^ï'^'»')

et, en remplaçant X (s -t- ^ ---? -\ wM par sa valeur donnée par la première des formules (14)»

On a de même

{;..0) ^{nz)r-,'-j\:.. ^ ^ (,)A.7„.^Z4-;,Î' +g'^^

ni n - 1

On obtient directement ces dernières équations en appliquant la méthode aux trois fonctions

l{nz}l il — z -\- - j 9 /ui(w.2)/x( / — z -[■■ -~ \ » v(nz)v\t — 2 4- - j ,

qui admettent les deux périodes co, g^'. Les infinis contenus dans le parai-

DIVISION DE L'UNE DES PÉRIODES. 5i5i

lélogramme considéré précédemment sont 2 =:= / et s -= p q —

p eiq variant de à Si l'on met à part le facteur qui

correspond k/? = o, 9 == o et si Ton groupe ensuite les termes deux a deux, on en déduit

la lettre a désignant les — ^ — valeurs de la quantité /> - 4- y — ? que Ton obtient quand on combine avec/)— o les valeurs positives 1,2,...,

de Çy et avec les valeurs positives 1,2,..., — — de p les n valeurs o,

ii= I, =ii2 =h -^^^ de q (n°330). D'après la remarque du numéro

précédent, elles sont aussi des conséquences des formules (i 4) du n^ 332.

Division de la première ^période par un nombre pair. 356. Le raisonnement du n^ 348 conduit aux formules

9(,.ï)=An«(-^i.f^).

«■('.I)=*n4'"'=''-"ïj}

dans lesquelles /? reçoit les n valeurs entières consécutives — ( ^ - 1 ) — 1,0, 1 , . . , lî -•, on les déduit de la première en ajoutant à z

Tune des quantités ~» - — ^ » - — ^ h En groupant deux à deux

les facteurs, excepté ceux qui, dans les deux premières, correspondent à /? = o et à /> =^ - , on obtient les formules

pz=x

ô.{z)e.f2) JJ I e'(«)- 77— ^^î (a)

B\\[ip-i)

2/lJ

eî[up-.)^]

iOMz) ,

que Ton peut mettre sous la forme

^ -X(2)fx(2)«„ o

• bAz,-\6'{o) "-'Î

les lettres $, $|, $,, $, désignant des polynômes entiers pairs en X (z), les deux premiers du degré a — 3, les deux derniers du degré n. On a ainsi