Remarquons que les quantités/? - et (- — p\ "ou - —p
prenant les mêmes valeurs, quand p varie de i à i , on a, en vertu
des relations (19) du n® 77,
ii'K';)-n'>(ï-''";)=n'-H-
n n . " i rx\ 1 n— . -1 n^--i ^/ 0> \
ces trois relations se réduisent à deux
(,„ n>ipî)-^-"' ri "('-;)-• ri'>{f:)'(^-:)
f/> . r / XI &) fi> , V 0>
Les quantités (2/? — i) — et [n — (2;? - i)] — ou -— (2/?— i) — prenant aussi les mêmes valeurs quand p varie de i a -9 on trouve de
même
If
Ed faisant z = o dans les équations (aS), on obtient ensuite le niiiltîplicateur ^, et le module ^'f des nouvelles fonctions elliptiques
Division de la seconde période par un nombre pair, 358. On obtient de la même manière les formules
dans lesquelles /> reçoit les n valeurs consécutives - (-' — i) I, o, I,..., -; on les déduit de la première en ajoutant à z l'une des
quantités-) — i * — } i Par le groupement des facteurs.
536 UVRE Vn. - GHAPITRB IV.
On trouve, comme dans le numéro précédent,
p-i pm
et, en faisant z= o dans les équations (3o),
(35) slV,=^ /.'• JI ^ ^' - "—
jj,.[(.p.)^]
359. Remarque. — La première des équations (a6), dont on élève
les deux membres au carré et dans laquelle on regarde > f 2, - j comme
une quantité connue etX*(z) comme Tinconnue, est du degré n par rapport à cette inconnue; les n racines sont représentées par la formule
V^iz -\- p-Y où p reçoit n valeurs entières consécutives; la somme des racines étant connue, il en résulte la relation
558 LIVRE Vn. - CHAPITRE IV.
avec la condition (4a -+- 1) (46'-m) — i6ôa'- i (n® 232); mais nous considérerons d'une manière plus générale les couples de périodes définis par les relations
(4i) 0) :--(2a -t- 1)&), — 26&)',, w' - - 2a'w, -+- (afc'-t- i)w',,
avec la condition
(4^) (2rt H- 1)(26'4- 1) — 4ft«'-— i;
car les fonctions X(jz, coi, co'J, qui leur correspondent, sont égales à db X {Zf 0), (ù') et ont pour modules + k^ de sorte que les polynômes 9 qui
entrent dans les expressions des fonctions Xf 5, ^> w'^ J* Xfz, co,, — j
renferment la même fonction donnée X'(z, k), la même constante ^%
et ne diffèrent que par la valeur de l'une des constantes X' (~'^)'
XM?~5A), X*(— 5 A], X^f— . k\. Dans ce qui suit, nous ne distinguerons pas deux fonctions égales et de signes contraires, ou ayant leurs modules égaux et de signes contraires.
Nous remarquerons d'abord que, lorsque n est impair, la division de la seconde période donne les mômes fonctions que celle de. la première; car deux couples de périodes satisfaisant aux relations (40 sont liés par des relations de même forme
&), - ( 2 rt, -r- I ) 0), -h 2 ft| û)', , ûj'j — 2 d^ 0), -h ( 2 6', -r I ) û/, ,
avec la seule condition (2a, -r- 1 ) (26', — i) — [\b^ «', — « ; d'où
un a n
Pour que les deux fonctions X(z, — ? w', |> Xf::, o),, — ) soient dans un
rapport constant, il est nécessaire et il suffît que 2a« -f- 1 soit divisible par 71, ce qui est impossible quand n est pair; lorsque n est impair et égal à 2m -h I, il suffira de prendre a, = 6, == m, a, = b\ = — m\ les deux fonctions seront alors égales et leurs modules égaux ou égaux et de signes contraires.
361. Proposons-nous maintenant de chercher le nombre des fonc-
lions X (z, ci>i, ^j9 quand nest impair. Les relations (4i) renferment
quatre nombres entiers ^a + i, b, a', 3&'+i, assujettis à la seule condition (4^). Considérons tous les systèmes de nombres entiers dans lesquels le plus grand commun diviseur de aa + i et n soit un même nombre n'\ posons n = n'ri\ 2a -f- 1 = /i'(2a, -+- i), les nombres n" et 2a, -f- 1 étant premiers entre eux. La première des relations (4t) devient
Puisque les nombres 2a, -h i et l\n"b sont premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres entiers a" et 2b" -h i satisfaisant k la condition
(43) (ifl. -f-i)(26"-t- 0— 4n"WT: I.
D'après cela, si Ton pose
on voit que le couple des périodes u, , — est équivalent au couple —, * u)'\
et que la fonction Xfz, w,,^j est égale k ±\(z, ^, «" J • Des relations (42) et (43), retranchées membre a membre, on déduit
et par suite
/ étant un nombre entier. Si, dans la valeur de (o'\ on remplace a'' et ^b" -h i par leurs valeurs tirées de ces deux équations, on trouve
C'^'^^rT/^-a^- = -7; •
Ainsi toutes les fonctions provenant de la division par n de la seconde période des couples qui sont fournis par les systèmes de nombres entiers, dans lesquels le plus grand commun diviseur de 2a + 1 et /i
est égal à un même nombre n\ sont comprises dans la formule
On pourra effectuer Topération à l*aide de deux divisions successives. On exprimerad'abordXfz,^ 9 u'j par une fraction rationnelle en X(z,u,u')
2, -,> ^~"/ P®*^ ^°® fraction rationnelle du
degré n" en xf», — ,» co'-f- 2/—,) ou X(z, "> w'J-
362. Nous remarquons que les trois nombres n\ n"^ i n'ont pas de Tacteur commun; car, si cela avait lieu, d'après la seconde des équations (44)» ce facteur commun diviserait 3&''+ i et, par suite, le premier membre de l'équation (43), ce qui est impossible. On en conclut que le nombre entier t, qui entre dans la formule (45), n*est pas arbitraire; il doit être premier avec le plus grand commun diviseur â (les deux nombres n' et n". Nous allons voir qu'on peut lui attribuer une valeur quelconque première avec â. L'équation (4^) est une conséquence des équations (43) et (44)* Étant donné le nombre entieri premier avec â, proposons- nous de déterminer six nombres entiers 2a, -h I, 6, a\ 2 6' H- I, a", 26"-+- 1 satisfaisant aux trois équations (43) et (44)» et tels que 2a, -+- 1 soit premier avec n". Les deux équations (44) donneront immédiatement les deux nombres entiers a' et 2 b"-^ 1 , quand les autres seront connus; l'équation (43)« dans laquelle on remplace 2 b" -^ I par sa valeur tirée de la seconde des équations (44)» devient
(46) w'(7.rt, -4- i) (26'-+- 1) — f\n''ba"". 1 - 4/(2fl. -h i)fc;
le premier membre étant divisible par e^, le second membre Test aussi. En appelant /' le quotient entier, on a la relation
et Téquation (46) se réduit à
(48) 1', (^«. -+-i)(26'-f-i)- \n\ba",z^t\
ri^ et n\ désignant les quotients premiers entre eux des nombres n' et ri' par leur plus grand commun diviseur d. La question revient à trouver des nombres entiers satisfaisant aux deux équations (47) et (48). Les nombres donnés 4^ 6t à étant premiers entre eux, on peut déterminer des nombres entiers x ei t! satisfaisant à Téquation l^tx -^r ât'=i. Prenons l'un quelconque des nombres x\ décomposons-le en un produit de trois facteurs : l'un a?', formé des facteurs premiers qui entrent dans n\; le deuxième x'\ des facteurs premiers qui entrent dans n\^ quels que soient d'ailleurs leurs exposants; le troisième y, des facteurs premiers étrangers à n\ et à n\. En faisant 2at H- 1 = ^', 6 = a/y, nous aurons deux nombres premiers entre eux et satisfaisant à l'équation (47)> ^vec la valeur correspondante de t; en outre, d'après cette relation, le nombre aa, -h i est premier avec â; comme il l'est déjà avec n\, il Test aussi avec ri'; d'ailleurs b est premier avec n\. Les deux nombres /i\(2a, -h i) et ^n^b, ainsi formés, étant premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres entiers 2b' + I et a" vérifiant l'équation (48).
363. A l'inspection de la formule (4^)» on voit immédiatement que deux valeurs de / dont la différence est un multiple de ri' donnent la même fonction; d'ailleurs, pour que deux de ces fonctions soient dans un rapport constant, il est nécessaire que leurs périodes soient équivalentes, ce qui exige, puisque le rapport -^ est imaginaire, que la
différence des deux valeurs de / soit un multiple de ri\ Si donc on ne regarde pas comme différentes deux fonctions égales et de signes contraires, on pourra dire que le nombre des fonctions qui correspondent à un plus grand commun diviseur ri entre aa + 1 et n est égal au nombre des nombres inférieurs à ri' et premiers avec î, ri' étant le quotient de n par ri et â le plus grand commun diviseur entre ri et ri'. On procédera de même pour chaque diviseur du nombre n. Le raisonnement précédent montre que deux fonctions qui se rapportent à deux diviseurs différents ne sont pas dans un rapport constant. En prenant successivement tous les diviseurs, on obtiendra ainsi toutes les fonctions
ît
Nous avons divisé par n la seconde période; on opérerait de même la division de la première période. Tous les systèmes de nombres entiers satisfaisant à la relation (42), et dans lesquels le plus grand commun diviseur de 26'+ i et /i est n\ donnent des fonctions représentées par la formule
dans laquelle / désigne encore un nombre entier premier avec ^\ mais nous avons vu que ces fonctions sont les mêmes que les précédentes.
Dans le cas particulier où n est premier, il n'y a que deux hypothèses possibles, soit n'= n^ n" =\^ soit n'= i, 71"= n. Si Ton divise la seconde période, la première hypothèse donne la fonction Xf 2, -» o^Mi la
seconde les n fonctions représentées par la formule Xf 2, o, - — ^-^ j»
où Ton attribue à / les /i valeurs o, 1, 2,. . . , /i — i, ce qui fait en tout n -f- I fonctions différentes. Si Ton divise la première période, la première îiypothèse donne la fonction Xfs, w, — j^ la seconde les n fonctions xfz, ^--— ? w'U ce qui reproduit les mêmes fonctions dans un autre ordre.
3Ci. Considérons actuellement le cas où le diviseur n est un nombiv l)air, que nous représenterons par 2'V^,, w, étant impair. Divisons d'abord la seconde période. En posant n^ — n'n" et appelant S le plus grand commun diviseur de n! et n", on démontre, comme précédemment, que les systèmes de nombres entiers satisfaisant à la relation (42), et dans lesquels le plus grand commun diviseur de 2^4- 1 et n ou /i, ost égal à /?', donnent les fonctions comprises dans la formule
OÙ / désigne un nombre entier premier aver c?. En divisant la première
période, on arrive de même à la formule
/ désignant toujours un nombre premier avec â. Les fonctions représentées par ces deux formules sont différentes. Le nombre des fonctions données par chacune d'elles et se rapportant à un plus grand commun diviseur n' est égal au nombre des nombres inférieurs à a'^/i" et premiers avec î.
Nous avons vu (n®236) que, si ^^o), w sont des périodes elliptiques de la fonction X(j3, k)^ la fonction X(z, k') admet les périodes elliptiques — 2«'i, col. En comparant les formules des n°* 349 et 351, 357 et 358,
on reconnaît que les deux fonctions xfz, w, --)? X(js, — — , wn ont
des multiplicateurs égaux et des modules complémentaires, et de même
les deux fonctions Xlz, ^^ wM» Xfz, — w'i, — ]•
Division par deux.
365. D'après leur définition par les formules (6) du n® 74, les valeurs des fondions 5 (z) pour une valeur de z de la formez — a w -hiw', aetb étant des constantes quelconques, sont des fonctions de la quantité imaginaire p = -- ~ r -f «, dans laquelle le coefficient s est positif
et différent de zéro ; si l'on représente, h la façon ordinaire, la variable p par un point du plan ayant pour coordonnées r et 5, ces valeurs des fonctions 0 sont des fonctions bolomorphes de p pour toute la moitié
du plan située au-dessus de Taxe des x. Les quantités yfk et )fk\ définies par les formules (17) du n^ 76, sont, d'après cela, des fonctions holomorphesde/9; en considérant leurs expressions en produits parles formules (29) et (3o) du n? 205, on voit que leurs racines carrées sont
504 LIVRE Vn. - CHAPITRE IV.
cUes-mCmcs holomorphes par rapport à p; nous poserons
1 4- (7** /~ ~ TT ' **" e*"^'
Voici d'autres fonctions holomorphes de p qui nous seront utiles : ï" Si, dans les formules (i3) du n® 75, on fait z = — j, on trouve
d'où
En définissant le radical \/i -\- k' au moyen de ^ (7 ) » on a
'"' Kl) =,-==?■ ^(i')=7#p' '(ï)=^-
En définissant V' * — ^' P*'^*' '^^ relation Vi — Â' x \/i h- A:' — A*, on en déduit
54 >. - -f — -^rr-, P -/ h - — -^-' V y ^- — ) == - 'VA •
2** Si, dans les formules (i4) du n^ 75, on fait z~ — --. on trouve
En définissant le radical y^i + ^ par la valeur de v (^ ) 9 on a
En définissant ^i — k par la relation \/i — k x: yJi-^-k = k'^ on en déduit
>i, aans les lormuies ^id; au n^ /o, on laii z = trouve
3*^ Si, dans les formules (iS) du u? 75, on fait z = - - .— > on
d'où Ton déduit
et, par suite,
. /&) -I- o)'\ A- -h /Ar'
H~4-J=^~F-- En définissant le radical ^k 4- e'A' au moyen de X f ^^-iJîL j , on a .
//r \ ^/w-*-w'\ >JTTÎP /&>-4-û/\ ^ /7r -V /w-f-w'X ,7-, ,7 —
En définissant V* — ikf par la relation sjk ;- ikf x^sjk -h ik" = i^ on en déduit
366. Divisons maintenant par deux la première période. Les for-
866 UVRB Vn. - CHAPITRE IV.
mules (29] du n^ 357 donnent
(59) 1 = '-^^' ^=\/7tI' et les formules (26) du n^ 356 se réduisent à
(60) '^('>â)= HZ)--'
D'après la dernière de ces formules, on a
La quantité \Jk\ est la fonction holomorphe de p que Ton obtient en remplaçant p par 2p dans l'expression de v^A:'; d'autre part, en vertu
de ce qui précède, la quantité > ^-^-^ est une fonction holomorphe
de p; ces deux fonctions ont des valeurs, réelles positives et égales, pour toutes les valeurs de p de la forme p =^ si; leur rapport est aussi holomorphe, et conserve une valeur constante, quand la variable p décrit la partie positive de Taxe des j; on en conclut, d'après le corollaire du n° 114, qu'il reste constant dans tout le demi-plan. On a donc, pour toutes les valeurs de p dans lesquelles s est positif,
Des formules du n° 205 on déduit, par un raisonnement analogue.
el les formules (a4) du n° 356 devienaeni
