Remarque II. — Concevons que Ton divise la première pé

riode plusieurs fois successivement par deux et appelons kzf k^^-t les modules des fonctions elliptiques correspondantes. En remplaçant q par q^"' dans la seconde des formules (Ss), on obtient

(in— i)!*"

nr ^TT'-Jl

L'exposant {2n — 1)2'", dans lequel n et m sont quelconques, désignant tous les nombres pairs, on en déduit

et, en vertu des formules du n® 205, où l'on fait g = \^

En remplaçant k\, k\ , . . . par leurs valeurs données par la formule (61), on a

a)\» I av/Â' 2^/f\ is^V, 7.sfV,

et, en divisant membre a membre cette équation par la précédente.

TT \ -^ k' I h- A'j I -\' li\ I H- h\

Si Ton pose

rï, — I , h,:-r k\

^, -I bi

partielles

, , ^u M^ y il d\os(ù ^u

On obtient les Tondions 0(z, -^ co'j en remplaçant dans ces formules (8) 0) par - et 7 par q"; en regardant encore co comme une fonction arbitraire de q, le même calcul montre que les quatre fonctions ôfz, -j w'j vérifient Féquation

On obtient les fonctions 0 Iz^ ot>, ^| en remplaçant dans les for-

mules {S) q par q"; on reconnaît 'de la même manière que les quatre fonctions Olz, c^, ^j satisfont aussi à l'équation (2).

Supposons maintenant que, dans toutes les fonctions précédentes, (ù soit la fonction de q définie par la formule (3i) du n^ 205, où Ton fait ^=1. Appelons k le module de la fonction X{Zf w, &>'), lequel est donné par la formule (29) de ce même numéro. Nous pouvons inversement regarder q comme une fonction de k; alors w est une fonction

de k, et les fonctions ô(z, -? c»A , 6 fz, w, — \ sont des fonctions des

deux variables indépendantes z et k. Les quantités oj et o^' sont aussi déterminées par les intégrales définies (3) et (5) du n** 221, où l'on fait g^=z I, et elles satisfont aux relations (33) et (34) du n® 279. A l'aide de ces relations, nous avons opéré le changement de variable au n"* 289; l'équation (2) devient ainsi

Désignons par 9, f 1, 92, 93, soit les quatre fonctions

... .'JLl'^J^ -ll^M'^l) -"Jl^^'i"^ -dl£.'^'("''^) ^^' * ' 0{o,û))' * ' 0-, (o,w)' * " ô,(o,6>)' * ' Ô.(o,w)'

soit les quatre fonctions

ces fonctions 9 joueront le même rôle que les fonctions AI(z); en répétant le calcul du n" 290, on trouve qu'elles satisfont aux équations

^' -4- 2/lA-»Z ^- -h 2/lM'» ^^- -f- { n -f /lVf»5') 9, :=: O,

y^' 4- 2/iyi»2 ^' -h 2/iM"^' -f- (nh' H /i^A'2»)<p, == o,

et» par conséquent, les quatre fonctions

vérifient la même équation différentielle

/ox ^'U ,, DU ,,„DU ,. ,,,

^ ' <)2» Dz D/r

Cette équation ne diffère de l'équation (27) du n^ 339 qu'en ce que n^ est remplacé par n. Il en résulte que les quatre fonctions

AJ-fz) Al-(2) ' AI«(Z) " Al-(2)

satisfont aux équations aux dérivées partielles

(lo) (i — -aax'-i-a;*) -— -f-2(n— i) (ax—x*)r- -h^nii —a^) r~ 4 ii(w— i )a;*Vi=o,

If 1-2^',, \D'V , , /!-»*• A^v

j V' — Fk' -y - n ^r "*' ^" ~ '^ Infp-^- ^ ^n j7

que Ton déduit des équations (34), (36) et (38) des n^' 340 et 341, en remplaçant n^ par n.

371. Ces quatre fonctions Y ont pour expressions, à Taide des d,